Çember ve Daire — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Yarıçapı 6 birim olan çemberde $60^{\circ }$’lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu $2\pi$ birimdir.

Bir çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğu $L=2\pi r\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{360^{\circ }}}$ bağıntısıyla hesaplanır. Verilen $r=6$ ve $\alpha =60^{\circ }$ değerlerini yerine yazdığımızda, $60^{\circ }$ tam çemberin ${\displaystyle \frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$’i olduğundan yay uzunluğu $2\pi \cdot 6\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}=2\pi$ birim bulunur. Daire dilimi alan formülüyle karıştırıp $\pi r^2\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{360^{\circ }}}=6\pi$ hesaplamak veya çember çevresi formülündeki 2 çarpanını unutup $\pi$ cevabına yönelmek en sık yapılan işlem hatasıdır.

Kısaca — Değme noktası $T(3,4)$ olup koordinatları toplamı 7’dir.

Birinci çemberin merkezi $O(0,0)$ ve yarıçapı $r_1=5$, ikinci çemberin merkezi $M(a,12)$ ve yarıçapı $r_2=10$ birimdir. İki çember dıştan teğet olduğundan merkezler arasındaki uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir: $\mathrm{\mid }OM\mathrm{\mid }=5+10=15$. Buradan $a^2+12^2=15^2⟹a^2=81$ ve $a>0$ olduğundan $a=9$ bulunur. Değme noktası $T$, $[OM]$ doğru parçasını merkezlerin yarıçapları oranında ($5:10=1:2$) içten böldüğünden $T=({\displaystyle \frac{9}{3}},{\displaystyle \frac{12}{3}})=(3,4)$ olur. Buradan $T$ noktasının koordinatları toplamı $3+4=7$ olarak hesaplanır.

Kısaca — Bu çevre açısının ölçüsü $48^{\circ }$ dir.

Çemberde bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan $AB$ yayının ölçüsü $m(\overgroup{AB})=96^{\circ }$ dir. Aynı yayı gören çevre açısının ölçüsü ise gördüğü yayın (ve dolayısıyla aynı yayı gören merkez açının) ölçüsünün yarısına eşittir. Buradan çevre açının ölçüsü ${\displaystyle \frac{96^{\circ }}{2}}=48^{\circ }$ olarak bulunur. Çevre açı ile merkez açı ilişkisini ters kurup 96’yı 2 ile çarpmak en yaygın çeldirici olan 192 sonucunu verir.