Bir üçgenin dört önemli noktası farklı doğruların kesişiminden doğar: açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde, kenar orta dikmeleri çevrel çemberin merkezinde, kenarortaylar ağırlık merkezinde, yükseklikler ise diklik merkezinde buluşur.
Üçgende Merkezler konusunda her noktanın kendine özgü özelliği soruyu çözer; örneğin ağırlık merkezi bir kenara, o kenara ait yüksekliğin üçte biri kadar uzaktadır. Dik üçgende diklik merkezi dik açının köşesine, çevrel çemberin merkezi hipotenüsün ortasına düşer.
AYT Geometri testinde sorular bir açı, bir uzaklık ya da koordinat düzleminde bir merkezin koordinatlarını sorabilir; seçenekler sayısaldır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruKolay
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I noktasıdır.
m(A)=70∘ ve m(B)=50∘ olduğuna göre m(BIC) kaç derecedir?
Cevabı göster
Cevap: D — 125
Kısaca — İç açıortayların kesişimiyle oluşan açı formülünden veya iç açılar toplamından m(BIC)=125∘ bulunur.
İç teğet çemberin merkezi (I), üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır. İki iç açıortayın oluşturduğu geniş açı için m(BIC)=90∘+2m(A) bağıntısı kullanılır. Tepe açısı m(A)=70∘ olduğundan m(BIC)=90∘+270∘=90∘+35∘=125∘ elde edilir. Formülü hatırlamadığın durumlarda ABC üçgeninin iç açıları toplamından m(C)=180∘−(70∘+50∘)=60∘ bulup, IBC üçgeninin taban açılarını açıortay gereği 25∘ ve 30∘ alarak da 180∘−(25∘+30∘)=125∘ sonucuna kolayca ulaşabilirsin.
2. soruKolay
ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 12 cm’dir.
Bu üçgenin ağırlık merkezinin BC kenarına olan uzaklığı kaç cm’dir?
Cevabı göster
Cevap: B — 4
Kısaca — Ağırlık merkezinin BC kenarına uzaklığı 4 cm’dir.
A köşesinden [BC] kenarının orta noktası D’ye çizilen kenarortayı düşünelim. Ağırlık merkezi G, bu kenarortay üzerinde [BC] kenarına 1 birim, A köşesine 2 birim uzaklıktadır (∣GD∣=k,∣AG∣=2k).G noktasından ve A köşesinden [BC] kenarına indirilen dikmeler benzer üçgenler oluşturur; bu benzerlikten dolayı G’nin kenara uzaklığı, A’nın kenara uzaklığının (yani yüksekliğin) 3kk=31’ü kadar olur. Buradan istenen uzaklık 312=4 cm bulunur. En çekici çeldirici olan 8 cm, ağırlık merkezinin köşeye karşılık gelen 32’lük düşey payıdır; sorunun tabana olan uzaklığı sorduğuna dikkat etmelisin.
3. soruOrta
Dik koordinat düzleminde A(0,0),B(8,0),C(2,6) noktaları bir üçgenin köşeleridir. Bu üçgenin diklik merkezi H(x,y) dir.
Buna göre x+y kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: B — 4
Kısaca —x+y=4 tür.
[AB] kenarı x-ekseni üzerinde yer aldığından, C(2,6) köşesinden karşı kenara inen yükseklik düşey x=2 doğrusudur. BC doğrusunun eğimi mBC=8−20−6=−1 dir. Dik doğruların eğimleri çarpımı −1 olduğundan, A(0,0) noktasından [BC] kenarına inen yüksekliğin eğimi 1 olur ve denklemi y=x olarak bulunur. Bu iki yüksekliğin kesişim noktası x=2 ve y=2 olup diklik merkezi H(2,2) dir; buradan x+y=2+2=4 elde edilir.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.