Üçgende Alan — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — $\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }$ oranı ${\displaystyle \frac{3}{5}}$’tir.

$ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin $A$ köşesinden inen yükseklikleri ortak olduğundan alanları oranı tabanları oranına eşittir: ${\displaystyle \frac{A(ABD)}{A(ACD)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }}}$. Benzer biçimde $PBD$ ve $PCD$ üçgenlerinin de yükseklikleri ortak olduğundan ${\displaystyle \frac{A(PBD)}{A(PCD)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }}}$ yazılır. Taraf tarafa çıkarıldığında ${\displaystyle \frac{A(ABD)-A(PBD)}{A(ACD)-A(PCD)}}={\displaystyle \frac{A(PAB)}{A(PCA)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }}}$ temel bağıntısı elde edilir; buradan ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{18}{30}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ bulunur. Tabanla doğrudan ilişkili olmayan $A(PBC)=24$ alanını orana dahil etmek en sık yapılan çeldirici hatadır.

Kısaca — İki kenar ve aralarındaki açının sinüsü kullanılarak $ABC$ üçgeninin alanı 10 birimkare bulunur.

Bir üçgende bilinen iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı verildiğinde alan formülü $\text{Alan}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot \sin (\alpha )$ dır. Verilen $AB=8$, $AC=5$ ve $\alpha =30^{\circ }$ değerlerini formüle yerleştirelim: $\text{Alan}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin (30^{\circ })$. Özel açı değerimiz $\sin (30^{\circ })={\displaystyle \frac{1}{2}}$ olduğundan işlem $\text{Alan}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 40\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=10$ birimkare olarak sonuçlanır. Formüldeki ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ çarpanını unutarak doğrudan kenarlar ile sinüsü çarpmak 20 çeldiricisine götürür.

Kısaca — Sinüslü alan formülü uygulandığında üçgenin alanı $15\sqrt{3}$ birimkare bulunur.

$B$ açısı $BA$ ve $BC$ kenarlarının oluşturduğu iç açı olduğundan doğrudan sinüslü alan formülünü uygulayabiliriz: $\text{Alan}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }\cdot \sin (B)$. Kenar uzunluklarını ve açıyı yerine yazarsak $\text{Alan}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin (60^{\circ })$ olur. $\sin (60^{\circ })={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ değerini yerine koyduğumuzda $\text{Alan}=30\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=15\sqrt{3}$ birimkare elde edilir. Formülün başındaki ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ katsayısını unutmak $30\sqrt{3}$ yanılgısına neden olur.