Çemberin Analitiği — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Çemberin yarıçapı ${\displaystyle \frac{17}{2}}$ birimdir.

Merkezi pozitif $x$-ekseni üzerinde olan çemberin merkez koordinatları $r>0$ olmak üzere $M(r,0)$ biçimindedir. Çember $y$-eksenine teğet olduğundan merkezin $y$-eksenine uzaklığı doğrudan yarıçapa eşit olur ve standart denklem $(x-r{)}^2+y^2=r^2$ biçimini alır. Çember $(1,4)$ noktasından geçtiği için bu koordinatlar denklemi sağlar: $(1-r{)}^2+4^2=r^2⟹1-2r+r^2+16=r^2$. Eşitlikteki $r^2$ terimleri sadeleştiğinde geriye $17-2r=0$ doğrusal denklemi kalır. Buradan aranan yarıçap $r={\displaystyle \frac{17}{2}}$ birim olarak bulunur.

Kısaca — Çemberin yarıçapı ${\displaystyle \frac{50}{13}}$ birimdir.

Orijindeki teğet $3x-4y=0$ doğrusunun eğimi ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ olduğundan, teğete orijinde dik olan normal doğrusunun eğimi $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ olur. Merkez bu doğru üzerinde ve IV. bölgede yer aldığından $k>0$ olmak üzere merkez $M(3k,-4k)$ ve orijine uzaklık olan yarıçap $R=5k$ birimdir. Çember $A(6,-2)$ noktasından geçtiği için $(6-3k{)}^2+(-2+4k{)}^2=(5k{)}^2$ eşitliği sağlanmalıdır. İfade açılıp düzenlendiğinde $36-36k+9k^2+4-16k+16k^2=25k^2⟹40-52k=0$ olup $k={\displaystyle \frac{10}{13}}$ bulunur. Buradan yarıçap $R=5k=5\cdot {\displaystyle \frac{10}{13}}={\displaystyle \frac{50}{13}}$ birim elde edilir.

Kısaca — $m$’nin alabileceği değerler $m<8-2\sqrt{11},m\mathrm{\ne }0$ veya $m>8+2\sqrt{11}$ olmalıdır.

İfadenin ikinci dereceden çember denklemi olabilmesi için $x^2$ ve $y^2$ terimlerinin yok olmaması, yani $m\mathrm{\ne }0$ olması gerekir. Denklemi $m$’ye bölüp yarıçap bağıntısını yazdığımızda $r^2={\left({\displaystyle \frac{2}{m}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{m+2}{2m}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{5}{m}}>0$ elde ederiz. Paydaları $4m^2$ ile eşitlediğimizde $m^2-16m+20>0$ eşitsizliğine ulaşırız. Kökler $m_{1,2}=8\pm 2\sqrt{11}$ bulunur; $8-2\sqrt{11}>0$ olduğundan 0 değeri sol aralıkta kalır ve çember olma tanımı gereği mutlaka dışlanmalıdır.