İki vektörün iç çarpımı sıfırsa vektörler birbirine diktir; Vektörler konusunda pek çok soru bu tek koşulla bir denkleme dönüşür.
İç çarpım, bileşenlerin karşılıklı çarpımlarının toplamı olarak da, büyüklüklerin çarpımı ile aradaki açının kosinüsünün çarpımı olarak da hesaplanır. Örneğin iki birim vektör arasındaki açı altmış derece ise iç çarpımları yarımdır. Toplamı sıfır vektörü olan üç vektör bir üçgen kapatır ve bu, iç çarpımları büyüklükler üzerinden bulmayı sağlar.
AYT Geometri testinde sorular bir parametreyi diklik koşulundan bulmayı, bir vektör ifadesinin büyüklüğünü ya da bir iç çarpımı hesaplamayı ister; seçenekler sayısaldır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruKolay
Dik koordinat düzleminde u=(2,−1) ve v=(−1,3) vektörleri veriliyor. k bir gerçek sayı olmak üzere u+kv vektörü, 2u−v vektörüne diktir.
Buna göre k kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 43
Kısaca — İki vektörün birbirine dik olması iç çarpımlarının sıfır olmasını gerektirdiğinden k=43 bulunur.
Vektörlerin doğrusal bileşimlerini bileşenleri cinsinden yazarsak u+kv=(2−k,−1+3k) ve 2u−v=(2(2)−(−1),2(−1)−3)=(5,−5) olur. Diklik koşulu gereği iki vektörün iç çarpımını sıfıra eşitleriz: (2−k)⋅5+(−1+3k)⋅(−5)=0. İfadeleri düzenlediğimizde (10−5k)+(5−15k)=0⟹15−20k=0 denklemi elde edilir. Buradan 20k=15⟹k=2015=43 sonucuna ulaşılır; ikinci terimdeki eksi işaretini dağıtırken hata yapanlar 21 veya 45 gibi çeldiricilere yönelebilir.
2. soruKolay
Aralarındaki açı 120∘ olan u ve v birim vektörleri için w=2u−3v olarak tanımlanıyor.
Buna göre, ∣w∣ kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: E — 19
Kısaca —∣w∣=19 birimdir.
İki vektörün skaler çarpımını tanımlayalım: u⋅v=∣u∣∣v∣cos120∘=1⋅1⋅(−21)=−21 olur. Aradığımız w=2u−3v vektörünün büyüklüğü için her iki tarafın normunun karesini alalım: ∣w∣2=4∣u∣2−12(u⋅v)+9∣v∣2=4(1)−12(−21)+9(1)=4+6+9=19. Buradan karekök aldığımızda ∣w∣=19 sonucuna ulaşırız. Vektörleri birbirine dik kabul edip iç çarpımı sıfır alanlar 13 çeldiricisine düşebilir.
3. soruKolay
a+b+c=0 koşulunu sağlayan üç vektörün büyüklükleri ∣a∣=3,∣b∣=4 ve ∣c∣=13’tür.
Buna göre a⋅b iç çarpımı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: B — −6
Kısaca —a⋅b=−6’dır.
Verilen vektörel toplamı a+b=−c biçiminde yazıp her iki tarafın normunun karesini alalım. Eşitliğin sol tarafını açtığımızda ∣a∣2+2(a⋅b)+∣b∣2=∣c∣2 bağıntısını elde ederiz. Bilinen büyüklükleri yerine koyarsak 32+2(a⋅b)+42=(13)2⟹25+2(a⋅b)=13 olur. Buradan 2(a⋅b)=13−25=−12 ve dolayısıyla a⋅b=−6 bulunur. Çıkarma sırasını ters yapıp 25−13=12 alanlar pozitif olan 6 cevabına yönelebilir.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.