Doğrunun Analitiği — AYT örnek sorular ve çözümleri

Eğim, bir doğrunun x ekseniyle yaptığı açının tanjantıdır ve doğrunun ne kadar dik yükseldiğini tek bir sayıyla söyler.

Doğrunun Analitiği konusunda bir doğru, bir noktası ve eğimiyle ya da iki noktasıyla tam olarak belirlenir. Eğimi negatif bir doğru eksenleri pozitif tarafta kesebilir ve eksenlerle bir üçgen oluşturur; bu üçgenin alanı, eksen kesim noktalarının çarpımının yarısıdır. İki doğrunun kesiştiği nokta, denklemlerin ortak çözümüdür.

AYT Geometri testinde sorular çoğunlukla bir doğrunun denklemini seçeneklerden bulmayı ya da kesişim noktası, uzaklık ve alan gibi bir değeri hesaplamayı ister; parametre içeren denklemler soruyu bir adım derinleştirir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

Dik koordinat düzleminde, $a^{2} + b^{2} = 4$ olmak üzere

a x + b y = 6

b x - a y = 8

doğruları $P$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre $P$ noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı göster

Cevap: D — 5

Kısaca — Denklemlerin kareleri toplanıp ortak paranteze alındığında $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 100$ bağıntısından $P$ noktasının orijine uzaklığı 5 birim bulunur.

$P (x, y)$ noktası her iki doğru denklemini de sağladığından, denklemlerin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım: $(a x + b y)^{2} + (b x - a y)^{2} = 6^{2} + 8^{2}$ . İfadeleri açtığımızda çarpım terimleri $+ 2 a b x y$ ile $- 2 a b x y$ birbirini sadeleştirir ve $(a^{2} + b^{2}) x^{2} + (a^{2} + b^{2}) y^{2} = 36 + 64 = 100$ , yani $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 100$ elde edilir. Soruda $a^{2} + b^{2} = 4$ verildiğinden $4 (x^{2} + y^{2}) = 100 ⟹ x^{2} + y^{2} = 25$ olur. $P$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{25} = 5$ birim olarak hesaplanır.

2. soruKolay

Dik koordinat düzleminde $x + y = 2$ ve $x - y = 4$ doğrularının kesim noktasından geçen ve eğimi 2 olan bir $d$ doğrusu çiziliyor.

Buna göre $d$ doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı göster

Cevap: C — $2 x - y = 7$

Kısaca — $d$ doğrusunun denklemi $2 x - y = 7$ dir.

Verilen iki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri taraf tarafa toplayalım: $(x + y) + (x - y) = 2 + 4 ⟹ 2 x = 6 ⟹ x = 3$ olur. İlk denklemde $x = 3$ yazarsak $3 + y = 2 ⟹ y = - 1$ bulunur; yani kesim noktası $(3, - 1)$ dir. Bu noktadan geçen ve eğimi $m = 2$ olan $d$ doğrusunun denklemi $y - (- 1) = 2 (x - 3)$ biçiminde yazılır. İfadeyi düzenlediğimizde $y + 1 = 2 x - 6 ⟹ 2 x - y = 7$ sonucuna ulaşırız. Kesim noktasını bulurken toplama yerine çıkarma hatası yapmak veya sabit terimde işaret hatası yapmak $2 x - y = 5$ çeldiricisine sebep olur.

3. soruOrta

Dik koordinat düzleminde eksenleri pozitif tarafta keserek bir üçgen oluşturan $d$ doğrusunun eğimi $- \frac{4}{3}$ ve bu üçgenin alanı 24 birimkaredir.

Buna göre $d$ doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

4 x + 3 y = 48

✗ Bu değil

4 x + 3 y = 24

✓ Doğru

4 x - 3 y = 24

✗ Bu değil

3 x + 4 y = 24

✗ Bu değil

2 x + 3 y = 16

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: B — $4 x + 3 y = 24$

Kısaca — $d$ doğrusunun denklemi $4 x + 3 y = 24$ olarak bulunur.

Doğrunun eksenleri pozitif tarafta kestiği noktalar $(a, 0)$ ve $(0, b)$ olsun ( $a > 0, b > 0$ ). Eğim negatif yönde $- \frac{b}{a} = - \frac{4}{3}$ olduğundan eksen kesim noktaları arasında $b = \frac{4}{3} a$ , yani $a = 3 k$ ve $b = 4 k$ ( $k > 0$ ) bağıntısı vardır. Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin alanı $\frac{a \cdot b}{2} = 24$ olarak verildiğinden $\frac{3 k \cdot 4 k}{2} = 24 ⟹ 6 k^{2} = 24 ⟹ k = 2$ bulunur. Buradan $a = 6$ ve $b = 8$ elde edilir; eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemi $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ olur. Paydaları 24 ile eşitleyip düzenlediğimizde aradığımız $4 x + 3 y = 24$ denklemine ulaşırız.

Doğrunun Analitiği — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Geometri