Konikler (Elips, Parabol, Hiperbol)

Bir noktanın sabit bir noktaya uzaklığının sabit bir doğruya uzaklığına oranı, o noktanın çizdiği eğrinin türünü belirler: oran bire eşitse parabol, birden küçükse elips, büyükse hiperbol oluşur.

Konikler (Elips, Parabol, Hiperbol) konusunun bu birleştirici tanımı, geometrik yer sorularının anahtarıdır. Elipste odaklara uzaklıkların toplamı, hiperbolde ise farkın mutlak değeri sabittir. Odak kirişi, odaktan geçen ve asal eksene dik olan kiriştir.

AYT Geometri testinde bu konu genellikle çok adımlı sorularla gelir: bir elipsin odak kirişinin uzunluğu, bir geometrik yerin sınırladığı alan ya da iki doğruya ayrışan dejenere bir konik gibi.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruZor

Odaktan geçen ve asal eksene dik olan kirişe odak kirişi denir. Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin, asal ekseni $x$ ekseni üzerinde olan bir elipsin denklemi $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ biçimindedir. Elipsin bir odağı $(2 \sqrt{5}, 0)$ noktası ve elips üzerindeki bir nokta $(4, \frac{3}{\sqrt{5}})$ olduğuna göre elipsin odak kirişinin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı göster

Cevap: D — 2

Kısaca — Elipsin parametreleri $a = 5$ ve $b^{2} = 5$ olduğundan odak kirişinin uzunluğu $2 b^{2} / a = 2$ birimdir. Odak bilgisinden $a^{2} - b^{2} = 20$ elde edilir. $t = b^{2} > 0$ yazıp verilen noktayı elips denkleminde yerine koyarsan $16 / (t + 20) + 9 / (5 t) = 1$ bulursun. Her iki tarafı $5 t (t + 20)$ ile çarptığında $80 t + 9 (t + 20) = 5 t (t + 20)$ , buradan $5 t^{2} + 11 t - 180 = (t - 5) (5 t + 36) = 0$ elde edilir. Pozitif kök $t = 5$ olduğundan $b^{2} = 5$ ve $a = 5$ olur. Odak kirişinin uzunluğu $2 b^{2} / a = 2 \cdot 5 / 5 = 2$ birimdir. Formüldeki 2 katsayısını unutmak, kirişin yalnızca yarısını hesaplayıp 1 seçeneğine yönelmene neden olur.

2. soruZor

Dik koordinat düzleminde hareket eden bir $P (x, y)$ noktasının $F = (3, 0)$ noktasına uzaklığı, $x = 12$ doğrusuna olan dik uzaklığının yarısına eşittir.

$P$ noktasının geometrik yerinin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı göster

Cevap: D — $18 \sqrt{3} π$

Kısaca — Standart denklemi $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ olan elipsin sınırladığı alan $18 \sqrt{3} π$ birimkaredir.

$P (x, y)$ noktasının $F (3, 0)$ noktasına uzaklığı $\sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}}$ , $x = 12$ doğrusuna dik uzaklığı ise $∣ x - 12 ∣$ ’dir. Verilen orana göre $\sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} = \frac{∣ x - 12 ∣}{2}$ denklemi kurulur ve her iki tarafın karesi alındığında $4 ((x - 3)^{2} + y^{2}) = (x - 12)^{2}$ elde edilir. Parantezleri açıp düzenlersek $4 (x^{2} - 6 x + 9 + y^{2}) = x^{2} - 24 x + 144 ⟹ 3 x^{2} + 4 y^{2} = 108$ bağıntısına ulaşırız. Eşitliğin her iki tarafını 108’e böldüğümüzde standart elips denklemi $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ olur; buradan yarı eksenler $a = \sqrt{36} = 6$ ve $b = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ bulunur. Elipsin alanı $Alan = π \cdot a \cdot b = π \cdot 6 \cdot 3 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} π$ birimkare hesaplanır; yarı küçük ekseni kökten çıkarmayı unutup $b = 27$ almak gibi hatalar $27 π$ çeldiricisine yol açabilir.

3. soruZor

Dik koordinat düzleminde $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 6 x - 12 y + 5 = 0$ denklemi dejenere bir konik belirtmektedir.

Bu koniği oluşturan iki doğru arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı göster

Cevap: E — $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Kısaca — Koniği oluşturan paralel doğrular $x + 2 y - 1 = 0$ ve $x + 2 y - 5 = 0$ olduğundan aralarındaki uzaklık $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ birimdir.

Verilen denklemdeki terimleri tam kare oluşturacak şekilde gruplayalım: $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = (x + 2 y)^{2}$ ve $- 6 x - 12 y = - 6 (x + 2 y)$ olduğunu görürüz. Böylece denklem $(x + 2 y)^{2} - 6 (x + 2 y) + 5 = 0$ biçimine dönüşür. $u = x + 2 y$ dersek $u^{2} - 6 u + 5 = 0 ⟹ (u - 1) (u - 5) = 0$ çarpanlarına ayrılır. Buradan iki paralel doğru $d_{1} : x + 2 y - 1 = 0$ ve $d_{2} : x + 2 y - 5 = 0$ olarak bulunur. Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü $d = \frac{∣ c_{1} - c_{2} ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ olduğundan $d = \frac{∣ 1 - 5 ∣}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ birim elde edilir.

Konikler (Elips, Parabol, Hiperbol) — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Geometri