Üç kenarı bilinen bir üçgenin açısını bulmak kosinüs teoreminin işidir; bir kenar ve karşısındaki açı biliniyorsa sinüs teoremi devreye girer.
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar (Sinüs ve Kosinüs Teoremi) konusunda, bir kenarın karşı açının sinüsüne oranının çevrel çemberin çapına eşit olması da önemli bir araçtır. İlginç bir durum, iki kenar ve birinin karşısındaki açı verildiğinde iki farklı üçgenin çizilebilmesidir, çünkü sinüsü aynı olan bir dar ve bir geniş açı vardır.
AYT Geometri sorularında en büyük açının ölçüsü, bir kenar uzunluğu ya da çevrel çemberle ilgili bir değer sorulur; seçenekler derece ya da köklü sayılar içerir.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruZor
ABC üçgeninde B açısının karşısındaki kenarın uzunluğu 10,C açısının karşısındaki kenarın uzunluğu 14 ve m(B)=30∘’dir. Bu verilerle birbirine eş olmayan iki farklı üçgen çizilebilmektedir.
A açısının karşısındaki kenarın bu iki üçgendeki uzunlukları x1 ve x2 olduğuna göre x1+x2 kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 143
Kısaca —A açısının karşısındaki kenarın alabileceği iki farklı uzunluğun toplamı 143’tür.
B köşesine göre kosinüs teoremini kurarsak b2=a2+c2−2accosB bağıntısını yazarız. Verilen b=10,c=14 ve m(B)=30∘ değerlerini yerine koyup a=x dersek 102=x2+142−2⋅x⋅14⋅cos30∘ denklemi oluşur. cos30∘=23 yazıp düzenlediğinde x2−143x+96=0 ikinci dereceden denklemini elde edersin. Çizilebilen iki farklı üçgendeki kenar uzunlukları x1 ve x2 bu denklemin kökleri olduğundan, kökler toplamı formülüyle doğrudan x1+x2=−1−143=143 bulursun.
2. soruKolay
Kenar uzunlukları 7, 8 ve 13 birim olan bir üçgenin iç açılarından en büyüğünün ölçüsü x olarak veriliyor.
Buna göre x kaç derecedir?
Cevabı göster
Cevap: C — 120
Kısaca — Üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü 120∘ dir.
Bir üçgende en büyük iç açı, daima en uzun kenarın karşısında yer alır; dolayısıyla x açısı 13 birimlik kenarın karşısındadır. Kosinüs teoremini kurarsak 132=72+82−2⋅7⋅8⋅cosx eşitliğini elde ederiz. Bu denklemi düzenlediğimizde 169=113−112cosx ve buradan 112cosx=−56, yani cosx=−21 bulunur. Üçgenin iç açısı geniş açı olduğunda kosinüs değeri negatiftir; cos60∘=21 olduğundan x=180∘−60∘=120∘ olur. İşaret hatası yaparak açıyı 60∘ bulanların çeldiriciye düşebileceğine dikkat etmelisin.
3. soruKolay
Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı 43 birimdir. m(∠ABC)=60∘ olduğuna göre
∣AC∣ kaç birimdir?
Cevabı göster
Cevap: D — 12
Sinüs teoremine göre bir kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı 2R ye eşittir. Bu nedenle ∣AC∣=2⋅43⋅sin60∘=83⋅23=12 birimdir.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.