Bir çokgenin iç açıları toplamı, kenar sayısının iki eksiği ile yüz seksen derecenin çarpımıdır; çünkü tek bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni kenar sayısından iki eksik üçgene böler.
Çokgenler ve Düzgün Çokgenler konusu bu fikrin yanı sıra köşegen sayısını ve düzgün çokgenlerde bir iç ya da dış açıyı hesaplamayı kapsar. Dışbükey bir çokgenin dış açıları toplamı kenar sayısından bağımsız olarak hep üç yüz altmış derecedir; örneğin düzgün altıgenin bir dış açısı altmış, bir iç açısı yüz yirmi derecedir.
AYT Geometri sorularında kenar sayısı doğrudan verilmeyebilir; köşegen ya da üçgen sayısından geriye doğru bulunur. Seçenekler derece ya da adet olarak dizilir.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruKolay
Düzgün bir altıgen veriliyor.
Bu altıgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevabı göster
Cevap: D — 120
Kısaca — Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü 120∘dir.
Düzgün çokgenlerde bir iç açıyı bulurken dış açıdan yararlanmak en pratik yaklaşımdır. Bütün düzgün çokgenlerin dış açıları toplamı 360∘ olduğundan, düzgün altıgenin bir dış açısı 6360∘=60∘ olur. Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘ olduğundan iç açı 180∘−60∘=120∘ olarak bulunur. Düzgün beşgenin iç açısı olan 108∘ veya düzgün sekizgenin iç açısı olan 135∘ değerleri bu soruda en güçlü çeldiricilerdir.
2. soruOrta
Bir öğrenci, dışbükey bir çokgenin seçtiği bir köşesini diğer bütün köşelere doğru parçalarıyla birleştiriyor.
Bu çizim sonunda çokgen 7 üçgensel bölgeye ayrıldığına göre başlangıçtaki çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 27
Kısaca — Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni n−2 üçgene ayırdığından 9 kenarlı bu çokgenin toplam 27 köşegeni vardır.
n kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden, kendisine ve komşu iki köşesine köşegen çizilemeyeceğinden n−3 adet köşegen çizilebilir. Bu n−3 adet köşegen çokgeni (n−3)+1=n−2 adet üçgensel bölgeye ayırır. Soruda n−2=7 verildiğinden çokgenin kenar sayısı n=9 olur. Bir çokgenin toplam köşegen sayısı 2n(n−3) formülüyle hesaplandığından 29⋅(9−3)=29⋅6=27 köşegen bulunur.
3. soruOrta
Kenar sayıları ardışık iki tek sayı olan dışbükey iki çokgenden büyük olanın köşegen sayısı, küçük olanın köşegen sayısından 17 fazladır.
Buna göre küçük çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir?
Cevabı göster
Cevap: E — 1260
Kısaca — Küçük çokgenin iç açılar toplamı 1260∘ dir.
Küçük çokgenin kenar sayısı n ise ardışık tek sayı olduklarından büyük olanın kenar sayısı n+2 olur. Çokgenlerin köşegen sayıları farkı 2(n+2)(n−1)−2n(n−3)=17 denklemini verir. İfadeleri sadeleştirdiğimizde 24n−2=17⟹2n−1=17⟹n=9 (dokuzgen) bulunur. 9 kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı (n−2)⋅180∘=7⋅180∘=1260∘ olarak elde edilir. Büyük çokgenin iç açılar toplamı olan 9⋅180∘=1620∘ değerini hesaplamak en çekici çeldiricidir.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.