Üçgende Yükseklik — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Tabana ait yükseklik 5 birimdir.

Bir üçgenin alanı $\text{Alan}={\displaystyle \frac{\text{taban}\cdot h}{2}}$ formülü ile hesaplanır. Soruda verilen taban uzunluğu 12 birim ve alan 30 birimkare değerleri yerine yazıldığında $30={\displaystyle \frac{12\cdot h}{2}}=6h$ denklemi elde edilir. Buradan her iki taraf 6’ya bölündüğünde tabana ait yükseklik $h=5$ birim bulunur. Formüldeki ikiye bölmeyi unutup doğrudan $12h=30$ yazmak veya alanı tabana bölmek en sık karşılaşılan çeldirici hatalardır.

Kısaca — Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ${\displaystyle \frac{65}{8}}$ birimdir.

$A$ köşesinden inen $[AD]$ yüksekliği için $\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }=x$ ve $\mathrm{\mid }DC\mathrm{\mid }=x+4$ denirse iki dik üçgende Pisagor bağıntılarının farkından $15^2-(x+4{)}^2=13^2-x^2$ eşitliği yazılır. Bu denklem çözüldüğünde $225-(x^2+8x+16)=169-x^2⟹8x=40⟹x=5$ bulunur; buradan yükseklik $\mathrm{\mid }AD\mathrm{\mid }=12$ ve taban $\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }=5+9=14$ birim çıkar. Tabanı 14 ve yüksekliği 12 olan üçgenin alanı $A={\displaystyle \frac{14\cdot 12}{2}}=84$ birimkaredir. Çevrel çember yarıçapı formülünden $R={\displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c}{4A}}={\displaystyle \frac{14\cdot 13\cdot 15}{4\cdot 84}}={\displaystyle \frac{2730}{336}}={\displaystyle \frac{65}{8}}$ birim elde edilir. Paydadaki $4A$ yerine $2A$ formülünü karıştırıp kullanmak en yaygın çeldirici tuzaktır.

Kısaca — Yükseklik ayağı ve diklik merkezinin ayırdığı parçalar hesaplandığında ${\displaystyle \frac{AH}{HD}}$ oranı ${\displaystyle \frac{11}{5}}$ bulunur.

$ABC$ üçgeninde $BC$ kenarına indirilen $AD$ yüksekliğini bulmak için $BD=x$ dersek, $13^2-x^2=15^2-(14-x{)}^2$ eşitliğinden $x=BD=5$ birim ve Pisagor bağıntısıyla $AD=12$ birim ($CD=9$ birim) elde ederiz. $B$ köşesinden $AC$’ye indirilen yükseklik çizildiğinde oluşan açılar takip edilirse $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ olur ve $\mathrm{△}HDB\sim \mathrm{△}CDA$ açı-açı benzerliği kurulur. Bu benzerlikten ${\displaystyle \frac{HD}{CD}}={\displaystyle \frac{BD}{AD}}⟹{\displaystyle \frac{HD}{9}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$ yazılarak $HD={\displaystyle \frac{15}{4}}$ birim ve $AH=12-{\displaystyle \frac{15}{4}}={\displaystyle \frac{33}{4}}$ birim bulunur. Böylece istenen oran ${\displaystyle \frac{AH}{HD}}={\displaystyle \frac{33\mathrm{/}4}{15\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{11}{5}}$ olur; oran sırasını ters alanlar ${\displaystyle \frac{5}{11}}$ ya da parça-bütün yanılgısıyla ${\displaystyle \frac{11}{16}}$ gibi çeldiricilere düşebilir.