Katı Cisimler (Uzay Geometri) — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Benzerlik veya koordinat sistemiyle $P$ noktasının $G$’de birleşen yüzlere uzaklıkları 4, ${\displaystyle \frac{16}{3}}$ ve 8 olup toplamları ${\displaystyle \frac{52}{3}}$ birimdir.

$A$ köşesi orijin $(0,0,0)$ kabul edilirse karşıt köşe $G(6,8,12)$ olur. $\mathrm{\mid }AP\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }PG\mathrm{\mid }=1:2$ verildiğinden $P$ noktasının $G$’ye olan uzaklığının tüm uzay köşegenine oranı ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }PG\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }AG\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$’tür. $P$’den $G$ köşesinde birleşen yüzey düzlemlerine indirilen dikmeler prizmanın ayrıtlarına paraleldir; dolayısıyla benzerlik gereği her bir yüzeye olan uzaklık ilgili ayrıtın ${\displaystyle \frac{2}{3}}$’si kadardır. Bu uzaklıklar sırasıyla ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 6=4$, ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 8={\displaystyle \frac{16}{3}}$ ve ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 12=8$ birim olur. Uzaklıkların toplamı $4+{\displaystyle \frac{16}{3}}+8={\displaystyle \frac{52}{3}}$ birimdir. $G$ köşesinde birleşen yüzler yerine $A$ köşesinde birleşen yüzlere olan uzaklıkları hesaplamak en yaygın işlem hatasıdır.

Kısaca — Taban merkezinin köşeye uzaklığından piramidin yüksekliği 3 cm bulunur ve hacim formülüyle $9\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$ elde edilir.

Kenar uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgen tabanın yüksekliği ${\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3}\text{ cm}$, ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı ise bu yüksekliğin üçte ikisi olan $2\sqrt{3}\text{ cm}$’dir. Yanal ayrıt $\sqrt{21}\text{ cm}$ olduğundan, piramit yüksekliği $h=\sqrt{(\sqrt{21}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{21-12}=3\text{ cm}$ bulunur. Taban alanı ${\displaystyle \frac{6^2\sqrt{3}}{4}}=9\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$ olduğuna göre hacim $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$ çıkar. Piramit hacmindeki ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ çarpanını unutmak seni doğrudan $27\sqrt{3}$ sonucuna götürür.

Kısaca — Kaptaki yağın yüksekliği 18 cm olur.

İlk deponun tamamının hacmi $V_{\text{depo}}=\pi r_1^2{h}_1=\pi \cdot 6^2\cdot 16=576\pi {\text{ cm}}^3$’tür. Depo yarısına kadar dolu olduğundan aktarılan yağın hacmi ${\displaystyle \frac{576\pi }{2}}=288\pi {\text{ cm}}^3$ olur. Bu yağ, taban yarıçapı $r_2=4\text{ cm}$ olan yeni bir kaba doldurulduğunda kapta oluşan sıvı yüksekliğine $H$ dersek, hacim eşitliğinden $\pi r_2^{2}H=288\pi ⟹\pi \cdot 4^2\cdot H=288\pi$ yazılır. Buradan $16H=288⟹H=18\text{ cm}$ bulunur. (Deponun ‘yarısına kadar’ dolu olduğu ifadesi gözden kaçırılıp tüm hacim aktarılmış gibi işlem yapılsaydı 36 cm yanılgısına düşülebilirdi.)