Üçgende Eşlik ve Benzerlik — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — $DBCE$ dörtgeninin alanı 126 birimkaredir.

$DE\parallel BC$ olduğundan temel benzerlik gereği $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir. $AB$ kenarının tamamı $AD+DB=4+6=10$ birim olduğundan benzerlik oranı $k={\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ olur. Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan ${\displaystyle \frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)}}={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{25}}$ bulunur. $\text{Alan}(ADE)=24$ birimkare olduğundan büyük üçgenin alanı $\text{Alan}(ABC)=24\cdot {\displaystyle \frac{25}{4}}=150$ birimkaredir. Dörtgenin alanı ise bu iki alanın farkına eşittir: $150-24=126$ birimkare elde edilir. En sık yapılan hata, benzerlik oranını kenarın tamamı ($AB$) yerine alt parçaya ($DB$) oranlayarak ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ üzerinden işlem yapmaktır.

Kısaca — Verilen kenarlar ilk üçgendeki 8 ve 10’a karşılık geldiğinden ikinci üçgenin çevresi 36 birimdir.

İlk üçgenin kenarları $6,8,10$ birimdir. İkinci üçgendeki iki kenarın oranı ${\displaystyle \frac{12}{15}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$’tir. İlk üçgenin kenarları arasında bu ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ oranını sağlayan tek çift ${\displaystyle \frac{8}{10}}$ olduğundan, 12 kenarı 8’e, 15 kenarı ise 10’a karşılık gelmek zorundadır. Buradan benzerlik oranı $k={\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{15}{10}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ bulunur. Bu durumda ilk üçgendeki 6 birimlik kenarın karşılığı $6\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=9$ birim olur. Kenarları $9,12,15$ birim olan ikinci üçgenin çevresi $9+12+15=36$ birim olarak elde edilir.

Menelaus teoremine göre ${\displaystyle \frac{AF}{FB}}\cdot {\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}=1$ yazılır. ${\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{EA}}=1$ eşitliğinden ${\displaystyle \frac{15}{2EA}}\cdot 3$ sadeleştirmesiyle $EA={\displaystyle \frac{15}{2}}$ bulunur.