Analitik Geometri (Doğrunun Analitiği)

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazılıp çıkan değerin mutlak değeri, x ve y katsayılarının karelerinin toplamının kareköküne bölünerek bulunur.

Analitik Geometri (Doğrunun Analitiği) bu formülün yanı sıra eğim, iki doğrunun kesişimi, paralellik ve diklik koşullarını kapsar. Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı eksi birdir; eğimi iki olan doğruya dik bir doğrunun eğimi eksi yarımdır. AYT sorularında çoğunlukla iki doğrunun kesişim noktasını bulup onu yeni bir koşulla birleştirmek gerekir: o noktanın başka bir doğruya uzaklığı ya da o noktadan geçen dik doğrunun denklemi gibi.

Seçenekler sayı ya da doğru denklemi biçimindedir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

$P (3, - 1)$ noktasının $4 x - 3 y + 7 = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d$ olsun.

Buna göre $d$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: E — $\frac{22}{5}$

Kısaca — $P$ noktasının doğruya olan uzaklığı $\frac{22}{5}$ birimdir.

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak için $d = \frac{∣ A x_{0} + B y_{0} + C ∣}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ bağıntısını kullanırız. Noktanın koordinatlarını doğrudan yerine yazdığında pay kısmı $∣ 4 (3) - 3 (- 1) + 7 ∣ = ∣ 12 + 3 + 7 ∣ = 22$ olur. Paydada ise katsayıların kareleri toplamının karekökünden $\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{25} = 5$ elde edilir. Buradan uzaklık $\frac{22}{5}$ birim olarak bulunur. $- 3 (- 1)$ çarpımında işaret hatası yapıp $+ 3$ yerine $- 3$ almak payı 16 yaparak en çekici çeldirici olan $\frac{16}{5}$ sonucuna yönlendirebilir.

2. soruKolay

$d_{1} : 2 x + y - 4 = 0$ ve $d_{2} : x - 2 y + 3 = 0$ doğrularının kesişim noktası $P$ olsun. $P$ noktasının $x + y - 1 = 0$ doğrusuna uzaklığı $d$ dir.

Buna göre $d$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: C — $\sqrt{2}$

Kısaca — $P$ noktasının doğruya uzaklığı $\sqrt{2}$ birimdir.

Öncelikle kesişim noktası $P$ ’yi belirlemek için ilk denklemden $y = 4 - 2 x$ ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım: $x - 2 (4 - 2 x) + 3 = 0$ işleminden $5 x - 5 = 0$ ve $x = 1$ bulunur; buradan $y = 4 - 2 (1) = 2$ olup kesişim noktası $P (1, 2)$ ’dir. Ardından $P (1, 2)$ noktasının $x + y - 1 = 0$ doğrusuna uzaklığını formülden hesaplarız: $d = \frac{∣ 1 (1) + 1 (2) - 1 ∣}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$ elde edilir. Kesrin pay ve paydasını $\sqrt{2}$ ile çarparak rasyonel yaptığında aradığın uzaklık $\sqrt{2}$ olarak bulunur.

3. soruKolay

$x - 3 y + 1 = 0$ ile $x + y - 5 = 0$ doğrularının kesişim noktasından geçen ve $2 x - y + 3 = 0$ doğrusuna dik olan bir $d$ doğrusu veriliyor.

Buna göre, $d$ doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x + 2 y - 10 = 0

✗ Bu değil

2 x + y - 10 = 0

✗ Bu değil

x - 2 y + 1 = 0

✗ Bu değil

2 x + 4 y - 13 = 0

✓ Doğru

2 x - 4 y + 1 = 0

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: D — $2 x + 4 y - 13 = 0$

Kısaca — Aranan doğrunun denklemi $2 x + 4 y - 13 = 0$ ’dır.

Kesişim noktasını bulmak için $x + y - 5 = 0$ denkleminden $x - 3 y + 1 = 0$ denklemini taraf tarafa çıkardığında $4 y - 6 = 0$ eşitliğinden $y = \frac{3}{2}$ ve buradan $x = \frac{7}{2}$ elde edersin. $2 x - y + 3 = 0$ doğrusunun eğimi 2 olduğundan, dik doğruların eğimleri çarpımı $- 1$ kuralı gereğince aradığımız doğrunun eğimi $m = - \frac{1}{2}$ olmalıdır. Noktası $(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$ ve eğimi $- \frac{1}{2}$ olan doğrunun denklemini $y - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} (x - \frac{7}{2})$ olarak kurabilirsin. Bu denklemi 4 ile çarparak düzenlediğinde $4 y - 6 = - 2 x + 7$ olur ve tüm terimleri bir araya topladığında $2 x + 4 y - 13 = 0$ sonucuna ulaşırsın.

Analitik Geometri (Doğrunun Analitiği) — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik