Diziler — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Dizi 6 terimde bir kendini tekrar eder ve $a_{20}=a_2=5$ olur.

Verilen $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ kuralına göre ilk terimleri sırasıyla yazalım: $a_1=2$, $a_2=5$, $a_3=5-2=3$, $a_4=3-5=-2$, $a_5=-2-3=-5$, $a_6=-5-(-2)=-3$, $a_7=-3-(-5)=2=a_1$ ve $a_8=5=a_2$ elde edilir. Görüldüğü gibi dizi 6 terimlik bir periyoda sahiptir ($2,5,3,-2,-5,-3$). 20’nin 6’ya bölümünden kalan 2 olduğundan $a_{20}=a_2=5$ bulunur. Bölme kalanını 1 alıp ilk terim olan 2’ye yönelmek sık yapılan bir periyot hatasıdır.

Kısaca — Terimlerin simetrisinden $a_6=15$ ve dizinin artan olmasından ortak fark $d=3$ bulunur; ilk terimi 0 olan dizinin ilk on terim toplamı 135 çıkar.

Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı eşittir: $a_4+a_8=2a_6=30$ olduğundan ortanca terim $a_6=15$ gelir. $a_3$ ve $a_9$ terimlerini $a_6$ cinsinden $(15-3d)$ ve $(15+3d)$ olarak yazarsan çarpımları $225-9d^2=144$ olur. Buradan $9d^2=81$ gelir ve dizi artan olduğundan ortak farkı $d=3$ alırsın. İlk terim $a_1=a_6-5d=15-15=0$ ve son terim $a_{10}=15+4(3)=27$ olduğundan ilk 10 terim toplamı $S_{10}={\displaystyle \frac{10\cdot (0+27)}{2}}=135$ bulunur.

Kısaca — Terimleri $a_3=12$ cinsinden yazarak $r+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ bulunur; simetriden dolayı birinci ve beşinci terimler 3 ile 48 olup toplamları 51 yapar.

Geometrik dizide terimleri verilen $a_3=12$ cinsinden yazarsan $a_2={\displaystyle \frac{12}{r}}$ ve $a_4=12r$ olur. Bu iki terimin toplamı ${\displaystyle \frac{12}{r}}+12r=30$ olduğundan paranteze aldığında $r+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ eşitliğine ulaşırsın. Buradan $r=2$ veya $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ gelir; her iki durumda da uç terimlerin kümesi $\{3,48\}$ olarak belirlenir. Dolayısıyla senden istenen $a_1+a_5$ toplamı $3+48=51$ olarak bulunur.