Mantık — AYT örnek sorular ve çözümleri

Bir bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan basit önermelerin doğruluk değerlerinden bağlaçlara göre belirlenir; Mantık konusu bu hesabın kurallarını işler.

Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlış olduğunda yanlıştır ve bu tek durumu akılda tutmak pek çok soruyu kısaltır. Niceleyiciler de önemli bir yer tutar: “her” ile kurulan bir önermeyi çürütmek için tek bir aksine örnek yeter, “en az bir” ile kurulan önermenin değili ise “her” ile ifade edilir.

De Morgan kuralları, bileşik önermelerin değilini almada kullanılır. AYT'de doğruluk değeri bulma, denk önermeyi seçme ve aksine örnek arama biçiminde sorular görülür.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

Gerçek sayılar kümesinde

$p$ : “Her $x$ için $x + y = 0$ olacak en az bir $y$ vardır.”

$q$ : “Öyle bir tek gerçek sayı $x$ vardır ki bütün gerçek $y$ değerleri için aynı anda $x + y = 0$ olur.”

$r$ : “Her $x$ için $x^{2} \geq x$ olur.”

önermeleri veriliyor.

Buna göre, $p$ , $q$ ve $r$ önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru - Doğru - Yanlış✗ Bu değilDoğru - Yanlış - Yanlış✓ DoğruYanlış - Doğru - Yanlış✗ Bu değilYanlış - Yanlış - Doğru✗ Bu değilDoğru - Yanlış - Doğru✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: B — Doğru - Yanlış - Yanlış

Kısaca — Önermelerin doğruluk değerleri sırasıyla Doğru - Yanlış - Yanlış şeklindedir.

Önermeleri sırasıyla inceleyelim:

$p$ önermesinde her gerçek $x$ sayısı için $y = - x$ seçildiğinde $x + (- x) = 0$ sağlandığından önerme doğrudur (1).
$q$ önermesinde bütün $y$ ’ler için aynı anda $x + y = 0$ yapacak tek bir $x$ aranmaktadır; oysa $y = 0$ için $x = 0$ , $y = 1$ için $x = - 1$ gerektiğinden tüm reel sayıları aynı anda sıfırlayan ortak bir $x$ yoktur, önerme yanlıştır (0).
$r$ önermesinde $x^{2} \geq x$ eşitsizliği $0 < x < 1$ aralığındaki sayılar için bozulur; örneğin $x = \frac{1}{2}$ için $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ olduğundan önerme yanlıştır (0).

2. soruOrta

Tam sayı koordinatlı bir $K (a, b)$ noktası için

$p$ : $a + b$ toplamı çifttir.

$q$ : $a \cdot b < 0$ olur.

$r$ : $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ olur.

önermeleri veriliyor. Hem $p \Rightarrow q$ hem de $(p \lor q) \Rightarrow r$ önermeleri yanlıştır.

Buna göre, $K$ noktası aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı göster

Cevap: A — $(2, 4)$

İki önermenin yanlışlığı $p$ doğru, $q$ yanlış ve $r$ yanlış koşullarını verir. $(2, 4)$ için toplam çift, çarpım pozitif ve $∣ 2 ∣ \leq ∣ 4 ∣$ olduğundan üç koşul da sağlanır.

3. soruZor

$n$ pozitif tam sayı olmak üzere aşağıdaki önermeler veriliyor.

I. Her $n \geq 1$ için $n^{2} + n + 41$ bir asal sayıdır.

II. Her $n \geq 1$ için $2^{n} > n^{2}$ dir.

III. Her $n \geq 1$ için $n! \geq 2^{n - 1}$ dir.

Yanlışlığı aksine örnekle gösterilebilen önermeler aşağıdakilerden hangisinde tam olarak verilmiştir?

Cevabı göster

Cevap: D — I ve II

Kısaca — I. önerme $n = 40$ (veya $n = 41$ ), II. önerme ise $n = 3$ değeriyle çürütülür; III. önerme ise her $n \geq 1$ için daima doğru olduğundan aksine örnekle gösterilebilenler I ve II dir.

I. önermede $n = 40$ yazıldığında $4 0^{2} + 40 + 41 = 40 (41) + 41 = 4 1^{2}$ elde edilir; sayı 41’e tam bölündüğünden asal değildir ve iddia çürütülür. II. önermede $n = 3$ seçildiğinde $2^{3} = 8$ ve $3^{2} = 9$ olup $8 > 9$ eşitsizliği sağlanmaz (ayrıca $n = 2$ ve $n = 4$ durumlarında da eşitlik çıkar). III. önermede ise $n = 1$ için $1 \geq 1$ dir ve $n \geq 2$ için çarpımdaki terimler $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n \geq 1 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2 = 2^{n - 1}$ eşitsizliğini daima sağladığından bu ifade tümevarımla her pozitif tam sayı için kanıtlanır. Dolayısıyla yanlışlığı karşıt örnekle gösterilebilen önermeler sadece I ve II dir.

Mantık — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik