Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar, grafiğin tepe ve çukurlarını işaret eder; Türevin Uygulamaları bu basit gözlemin üzerine kurulur.
AYT Matematik testinde konu üç ana biçimde karşına çıkar: parametre içeren bir polinomun yerel maksimum ve minimum değerleri üzerine kurulan sorular, bir eğrinin altına yerleştirilen dikdörtgen gibi şekillerde alanı en büyük yapma problemleri ve zamana bağlı bir niceliğin değişim hızını yorumlama.
Türevin sıfır olması tek başına ekstremum garantisi vermez; örneğin x küp fonksiyonunun türevi orijinde sıfırdır ama orada ne tepe ne çukur vardır, çünkü türev işaret değiştirmez. Seçenekler genellikle sayısal değerlerdir ve yakın sonuçlar arasında doğru işaret tablosu belirleyici olur.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruZor
a>1 olmak üzere
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x
fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerinin toplamı 36’dır.
Buna göre, bu iki yerel ekstremum değerinin çarpımı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 320
Kısaca — İki yerel ekstremum değerinin çarpımı 320’dir.
Fonksiyonun türevini alıp çarpanlarına ayıralım: f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=3[(x−a)2−1]=3(x−a−1)(x−a+1). Türevi sıfırlayan apsisler yerel maksimum için x1=a−1 ve yerel minimum için x2=a+1’dir. Bu noktaları f(x)’te yerine yazdığımızda değerler f(a−1)=a3−3a+2 ve f(a+1)=a3−3a−2 olur. Bu iki ekstremum değerinin toplamı 2(a3−3a)=36⟹a3−3a=18 verir ve a>1 için bu eşitliği sağlayan değer a=3’tür. Buradan yerel maksimum değeri 20, yerel minimum değeri 16 bulunur; çarpımları ise 20⋅16=320 yapar.
2. soruZor
y=15−x2 parabolü ile x ekseni arasında, kenarları koordinat eksenlerine paralel ve y eksenine göre simetrik bir dikdörtgen çiziliyor. Dikdörtgenin üst köşeleri parabolün üzerindedir.
Buna göre, dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: A — 205
Kısaca — Parabol içine çizilen dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer 205 birimkaredir.
Dikdörtgen y eksenine göre simetrik olduğundan, sağ üst köşesinin koordinatlarını (x,15−x2) (x>0) olarak belirlersek taban uzunluğu 2x, yüksekliği ise 15−x2 olur. Buradan alan fonksiyonu A(x)=2x(15−x2)=30x−2x3 biçiminde yazılır. Alanın en büyük değerini bulmak için türev alıp sıfıra eşitleriz: A′(x)=30−6x2=0⟹6x2=30⟹x2=5⟹x=5. Bulduğumuz x=5 değerini alan fonksiyonunda yerine yazdığımızda maksimum alan A(5)=25(15−5)=25⋅10=205 olarak elde edilir.
3. soruKolay
Bir tanktaki suyun hacmi t dakika sonra V(t)=100+30t−3t2 litre olmaktadır.
Buna göre suyun hacminin azalma hızının 12 L/dk olduğu anda tankta kaç litre su vardır?
Cevabı göster
Cevap: A — 163
Kısaca — Hacmin azalma hızının 12 L/dk olduğu anda tankta 163 litre su vardır.
Azalma hızı, hacmin zamana göre türevinin negatif olduğu durumdaki büyüklüğü ifade ettiğinden V′(t)=−12 eşitliğini kurmalıyız. V(t)=100+30t−3t2 fonksiyonunun türevi V′(t)=30−6t olup 30−6t=−12 denkleminden 6t=42, yani t=7 dakika bulunur. Bu zamanı hacim fonksiyonunda yerine koyduğumuzda V(7)=100+30(7)−3(7)2=100+210−147=163 litre elde ederiz. Parabolün simetri ekseni t=5 olduğundan, artış hızı olarak V′(t)=12 (t=3) çözülse bile aynı 163 değerine ulaşılır; ancak denklem kurarken işlem hatası yapmak 172 veya 181 gibi hatalı hacimlere yol açar.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.