Mutlak Değer — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Denklemin gerçek sayı köklerinin çarpımı 8’dir.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından denklemin çözümünde öncelikle $x+1\ge 0$, yani $x\ge -1$ şartı aranmalıdır. Mutlak değer tanımı gereği iki durum incelenir: $2x-5=x+1$ eşitliğinden $x=6$ ve $2x-5=-(x+1)$ eşitliğinden $3x=4⟹x={\displaystyle \frac{4}{3}}$ bulunur. Bulunan her iki kök de $x\ge -1$ şartını sağladığından geçerlidir. Bu köklerin çarpımı $6\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}=8$ olarak elde edilir.

Kısaca — Fonksiyonun en küçük değeri ile bu değeri aldığı en büyük $x$ değerinin toplamı 13’tür.

Fonksiyonun kritik noktaları $-3$, 1 ve 5’tir. Kritik noktaların ayırdığı aralıklar incelendiğinde; $x<-3$ için fonksiyon azalan, $x>1$ için ise artandır. $-3\le x\le 1$ aralığında mutlak değerler açıldığında $F(x)=2(x+3)-(x-1)-(x-5)=2x+6-x+1-x+5=12$ bulunur; yani fonksiyon bu aralıkta sabit olup en küçük değerini ($m=12$) alır. Minimum değerin sağlandığı en büyük $x$ değeri aralığın sağ ucu olan $a=1$’dir. Buradan $m+a=12+1=13$ elde edilir.

Kısaca — Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı 2’dir.

Kritik noktalar olan $-2$ ve 3 sayılarına göre ifadeyi incelemelisin: $x\ge 3$ olduğunda $(x+2)-(x-3)=5<4$ çelişkisi doğar ve bu bölgeden çözüm gelmez. $-2\le x<3$ aralığında ise $(x+2)-(3-x)=2x-1<4$ eşitsizliğinden $x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$ elde edilir. $x<-2$ için ifade sabit $-5<4$ olup tümüyle sağlandığından eşitsizliğin tam çözüm aralığı $x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$ olur; 2,5’ten küçük en büyük tam sayı da 2’dir.