Üslü Sayılar — AYT örnek sorular ve çözümleri

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, bölünürken çıkarılır; Üslü Sayılar konusundaki işlemlerin tamamı bu iki kuralın üzerine kurulur.

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini verir; sıfırıncı kuvvet ise sıfır dışındaki her sayı için bire eşittir. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir ve bu ayrım işaret sorularında belirleyicidir. Bilimsel gösterim de bu başlıkta yer alır: bir sayı, birden büyük ya da bire eşit ve ondan küçük bir katsayı ile onun bir tam sayı kuvvetinin çarpımı olarak yazılır.

AYT sorularında ifadeyi ortak tabana çevirmek ya da bir toplamın karesini almak gibi dönüşümler istenir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

$x$ bir gerçek sayı olmak üzere,

2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $4^{x} + 4^{- x}$ toplamı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: C — $\frac{17}{4}$

Kısaca — $4^{x} + 4^{- x}$ toplamı $\frac{17}{4}$ ’tür.

Verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak tam kare açılımından $(2^{x} + 2^{- x})^{2} = (2^{x})^{2} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + (2^{- x})^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$ elde ederiz. $2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1$ olduğundan eşitlik $4^{x} + 2 + 4^{- x} = \frac{25}{4}$ hâline gelir; buradan $4^{x} + 4^{- x} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{17}{4}$ bulunur. Tam kare açılımındaki ortadaki $+ 2$ çarpımını unutarak doğrudan $\frac{25}{4}$ seçeneğine gitmemeye dikkat etmelisin.

2. soruKolay

$x$ ve $y$ pozitif tam sayıları için

x < y

2^{x} + 2^{y} = 40

olduğu biliniyor.

Buna göre, $x \cdot y$ çarpımı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: B — 15

Kısaca — İfade $2^{x}$ parantezine alınıp çarpanlar incelendiğinde $x = 3$ , $y = 5$ ve çarpımları 15 bulunur.

$x < y$ koşulu verildiğinden sol tarafı küçük olan terim yani $2^{x}$ parantezine alalım:
$2^{x} (1 + 2^{y - x}) = 40$
$x$ ve $y$ pozitif tam sayı ve $y > x$ olduğundan $y - x \geq 1$ ’dir; bu nedenle $2^{y - x}$ çift, $1 + 2^{y - x}$ ise kesinlikle tek sayıdır. 40 sayısını $2^{3} \cdot 5$ olarak asal çarpanlarına ayırdığımızda tek çarpan 5, çift kuvvet ise $2^{3}$ olmalıdır: • $2^{x} = 2^{3} ⟹ x = 3$ • $1 + 2^{y - x} = 5 ⟹ 2^{y - x} = 4 = 2^{2} ⟹ y - x = 2 ⟹ y = 5$ Buradan $x \cdot y = 3 \cdot 5 = 15$ elde edilir.

3. soruKolay

$p = 4 \times 1 0^{- 6}$ , $q = 5 \times 1 0^{4}$ ve $r = 2 \times 1 0^{- 3}$ pozitif gerçek sayıları için

\frac{p \cdot q^{3}}{r \cdot 5 \times 1 0^{- 8}}

ifadesinin bilimsel gösterimi $a \times 1 0^{b}$ ( $1 \leq a < 10$ , $b$ tam sayı) biçiminde yazılmaktadır.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: D — 23

Kısaca — $a + b$ toplamının değeri 23’tür.

İlk olarak payı hesaplayalım: $q^{3} = (5 \times 1 0^{4})^{3} = 125 \times 1 0^{12}$ olduğundan pay $p \cdot q^{3} = (4 \times 1 0^{- 6}) \times (125 \times 1 0^{12}) = 500 \times 1 0^{6} = 5 \times 1 0^{8}$ olur. Paydayı düzenlediğimizde $r \cdot 5 \times 1 0^{- 8} = (2 \times 1 0^{- 3}) \times (5 \times 1 0^{- 8}) = 10 \times 1 0^{- 11} = 1 0^{- 10}$ elde edilir. Payı paydaya böldüğümüzde $\frac{5 \times 1 0^{8}}{1 0^{- 10}} = 5 \times 1 0^{8 - (- 10)} = 5 \times 1 0^{18}$ sonucuna ulaşılır. Buradan bilimsel gösterim katsayısı $a = 5$ ve üs $b = 18$ olup $a + b = 5 + 18 = 23$ bulunur; paydadaki $2 \times 5 = 10$ katsayısının üssü 1 artırıp $1 0^{- 10}$ yaptığını gözden kaçırmak $b$ ’yi yanlış hesaplatarak 17 gibi çeldiricilere yönlendirir.

Üslü Sayılar — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik