Denklem Sistemleri — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Deniz $A$ türünden 6, $B$ türünden 5 soru bilmiştir ve bu sayıların çarpımı 30’dur.

Deniz’in $A$ türünden doğru sayısı $a$, $B$ türünden doğru sayısı $b$ olsun; toplam soru sayısından $a+b=11$ ve toplam puandan $4a+7b=59$ denklemleri kurulur. İlk denklemi $-4$ ile çarpıp ikinci denklemle topladığında $3b=15⟹b=5$ bulunur. Toplam 11 soru olduğundan $a=11-5=6$ elde edilir. Sorulan değer bu sayıların çarpımı olduğundan $6\cdot 5=30$ bulunur.

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$ eşitliğinden $xy=6$ bulunur. $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=125-90=35$’tir.

Kısaca — İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin hiçbir çözümünün olmaması için katsayılar oranı eşit, sabit terimler oranı farklı olmalıdır; $a$’nın alabileceği değerlerin çarpımı $-2$ olur.

Sistemin gerçek sayılarda çözümünün bulunmaması, denklemlerin belirttiği doğruların birbirine paralel olması anlamına gelir; dolayısıyla ${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{4}}$ şartı sağlanmalıdır. Eşitliğin sol tarafında içler dışlar çarpımı yaptığında $a(a-1)=2⟹a^2-a-2=0$ denklemi gelir ve çarpanlarına ayırdığında $a=2$ veya $a=-1$ bulunur. Bulunan her iki değer de sabitlerin oranı olan ${\displaystyle \frac{3}{4}}$’ten farklı bir oran verdiğinden paralellik şartı sağlanır. Buradan $a$’nın alabileceği değerlerin çarpımı $2\cdot (-1)=-2$ olarak elde edilir.