İntegralin Uygulamaları (Alan Hesabı) — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — $[0,1]$ aralığında $y=x$ doğrusu $y=x^2$ parabolünün üstünde kaldığından aradaki alan ${\displaystyle {\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}}$ birimkaredir.

Öncelikle eğrilerin kesiştiği $x$ değerlerini bulmak için denklemleri eşitleyelim: $x^2=x⟹x(x-1)=0$; kesim noktaları $x=0$ ve $x=1$’dir. Verilen $0\le x\le 1$ aralığında (örneğin $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ için ${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ olduğundan) $y=x$ doğrusu $y=x^2$ parabolünün üzerinde kalır. İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır: ${\displaystyle \text{Alan}={\int }_0^1(x-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]}_0^1=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-0=\frac{1}{6}}$ birimkare bulunur. Eğrilerin sırasını karıştıranlar negatif işaretli veya hatalı sonuçlara düşebilir.

Kısaca — Parabolün ekseni kestiği noktalara göre ayrılan üç bölgenin alanları toplanarak 4 birimkare elde edilir.

$f(x)=x^2-4x+3=0$ denklemini çarpanlarına ayırırsak $(x-1)(x-3)=0$ olup kökler $x=1$ ve $x=3$’tür. Eğri $[0,1]$ aralığında $x$ ekseninin üstünde, $[1,3]$ aralığında altında ve $[3,4]$ aralığında tekrar üstündedir. Alan negatif olamayacağından bu üç aralığı ayrı ayrı hesaplamalıyız: $F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x^2+3x$ olmak üzere $[0,1]$ için $F(1)-F(0)={\displaystyle \frac{4}{3}}$, $[1,3]$ için $\mathrm{\mid }F(3)-F(1)\mathrm{\mid }=\mid 0-{\displaystyle \frac{4}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{4}{3}}$ ve $[3,4]$ için $F(4)-F(3)={\displaystyle \frac{4}{3}}-0={\displaystyle \frac{4}{3}}$ birimkare gelir. Bu üç alanın toplamı ${\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}=4$ birimkaredir. Eğriyi parçalamadan doğrudan 0’dan 4’e integral alanlar zıt işaretler birbirini götürdüğü için hatalı sonuca ulaşır.

Kısaca — Parabol ile doğru arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ${\displaystyle \frac{9}{2}}$ birimkaredir.

İlk olarak eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri ortak çözelim: $x^2=x+2⟹x^2-x-2=0$ denkleminden sınırları $x=-1$ ve $x=2$ olarak buluruz. $[-1,2]$ aralığında doğru parabolün üzerinde yer aldığından alan integrali ${\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx$ şeklinde kurulur. Belirli integrali aldığımızda ${[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^2$ ifadesinde sınırları yerine yazarsak ${\displaystyle \frac{10}{3}}-(-{\displaystyle \frac{7}{6}})={\displaystyle \frac{9}{2}}$ sonucuna ulaşırız. Alt sınır olan $-1$’i yerine koyarken eksi işaretlerinin dağılımına dikkat etmezseniz işlem hatasıyla yanlış değerlere sürüklenebilirsiniz.