Karesi eksi bir olan sanal birim i, gerçel sayılarda çözümü olmayan denklemlere çözüm bulmak için tanımlanır ve Karmaşık Sayılar konusunun başlangıç noktasıdır.
Sanal birimin kuvvetleri dörtlü bir döngüyle tekrar eder: i, eksi bir, eksi i ve bir; bu nedenle büyük bir kuvveti hesaplamak için üssün dörde bölümünden kalana bakmak yeterlidir. Bir karmaşık sayının eşleniği sanal kısmın işaretini değiştirir ve sayı ile eşleniğinin çarpımı her zaman negatif olmayan bir gerçel sayıdır.
Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için kesir eşlenikle genişletilir. AYT'de işlem sonucu bulma, sanal birimin kuvvetleri ve eşlenik özellikleri üzerine sorular görülür.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruKolay
z bir karmaşık sayı ve zˉ bu sayının eşleniği olmak üzere z⋅zˉ ifadesi ele alınıyor.
Bu ifadeyle ilgili aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevabı göster
Cevap: B — Sonuç negatif olmayan bir gerçek sayıdır.
Kısaca —z⋅zˉ ifadesinin sonucu her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır.
z=a+bi (a,b∈R) karmaşık sayısının eşleniği zˉ=a−bi olup çarpımları z⋅zˉ=a2+b2 biçimindedir. Gerçel sayıların kareleri daima sıfır veya pozitif (a2≥0,b2≥0) olduğundan toplamları da daima negatif olmayan bir gerçel sayıdır (a2+b2≥0). Eğer z=0 ise sonuç 0 olur; z=0 olduğunda ise sonuç daima pozitif bir gerçel sayıdır; dolayısıyla genel durumda sonuç her zaman negatif olmayan gerçel sayıdır. Sanal kısımların birbirini götürdüğünü gözden kaçırıp sonucun sanal olduğunu düşünmek veya z=0 durumunu unutarak sonucun kesinlikle pozitif olduğunu varsaymak yanıltıcı olabilir.
2. soruKolay
Karmaşık sayılar kümesinde
(1−i)⋅(1+i)i⋅(3−i)⋅(2−2i)
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 4+2i
Kısaca — İşlemin sonucu 4+2i’dir.
Paydaki çarpımı hesaplamak için önce (3−i)(2−2i)=6−6i−2i+2i2=6−8i−2=4−8i bulunur. Bu ifadeyi baştaki i ile çarptığımızda i(4−8i)=4i−8i2=4i+8=8+4i pay değerine ulaşılır. Paydada eşlenik iki sayının çarpımından (1−i)(1+i)=12−i2=1−(−1)=2 gelir. Bulduğumuz payı paydaya böldüğümüzde 28+4i=4+2i elde edilir; paydadaki 2’ye bölmeyi unutmak seni doğrudan 8+4i çeldiricisine götürür.
3. soruKolay
i35 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı göster
Cevap: B — −i
Kısaca —i35 ifadesinin değeri −i’dir.
Sanal birim i’nin pozitif tam sayı kuvvetleri 4 adımda bir periyodik olarak tekrarlanır: i1=i,i2=−1,i3=−i ve i4=1’dir. Bu nedenle verilen üssün 4’e bölümünden kalan incelenir; 35 sayısı 4’e bölündüğünde 35=4⋅8+3 olup kalan 3’tür. Buradan i35=(i4)8⋅i3=18⋅i3=i3=−i sonucuna ulaşılır. Kalanı 1 veya 2 sanmak ya da i3’ün değerini −1 ile karıştırmak sık yapılan hatalardandır.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.