Bir eşitsizliğin iki yanı negatif bir sayıyla çarpıldığında yön değiştirir; Basit Eşitsizlikler konusundaki yanlışların büyük bölümü bu kuralın unutulmasından doğar.
Kesirli ifadelerde paydanın işareti bilinmediği için içler dışlar çarpımı yapılmaz; bunun yerine pay ve paydanın kökleri sayı doğrusunda işaretlenerek bir işaret tablosu kurulur. Paydayı sıfır yapan değer, eşitsizlik eşitlik içerse bile çözüm kümesine hiçbir zaman girmez.
AYT'de sorular ya doğrudan çözüm kümesini aralık gösterimiyle sorar ya da çözüm kümesindeki tam sayıların adedini, toplamını veya bir parametrenin alabileceği değerleri ister. Seçeneklerdeki aralıklar çoğu zaman yalnızca uç noktaların açık ya da kapalı olmasıyla ayrışır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
Kısaca — Eşitsizliğin çözüm kümesi (−2,1] aralığıdır.
Payın kökü x=1 ve paydanın kökü x=−2’dir. Bu köklerle işaret tablosu oluşturduğunda, x>1 için ifade pozitif, (−2,1) aralığında negatif ve x<−2 için pozitiftir. Eşitsizlikte sıfıra eşitlik de istendiğinden payı sıfır yapan 1 değeri çözüme dâhil edilirken, paydayı sıfır yapan −2 değeri ifadeyi tanımsız kıldığı için açık bırakılmalıdır. Eşitsizlikteki ≤ sembolüne aldanıp paydayı sıfır yapan değeri de köşeli parantezle dahil ederek [−2,1] aralığına yönelmek en sık yapılan çeldirici hatasıdır.
Paydadaki ∣x−2∣ ifadesi sıfırdan farklı her gerçel sayı için kesinlikle pozitif olduğundan kesrin negatif olması yalnızca payın negatif olmasına bağlıdır. Payı çarpanlarına ayırdığımızda (x−1)(x−3)<0 elde edilir ve bu eşitsizlik köklerin arası olan (1,3) açık aralığını verir. Ancak sorunun başında da belirtildiği üzere x=2 değeri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kıldığından bu aralıktan mutlaka çıkarılmalıdır. Tanımsızlık noktasını gözden kaçırıp çözümü doğrudan (1,3) aralığı olarak almak en temel çeldirici tuzaktır.
3. soruOrta
a bir tam sayı olmak üzere,
x+2x−a≤0
eşitsizliğini sağlayan yalnızca 4 farklı x tam sayısı vardır.
Buna göre, a’nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: B — −12
Kısaca —a’nın alabileceği değerlerin çarpımı −12’dir.
Payda sıfır olamayacağından x=−2 olduğuna dikkat etmelisin. Eğer a>−2 ise çözüm aralığı (−2,a] olur; bu aralıktaki dört tam sayı −1,0,1,2 olacağından a=2 bulunur. Eğer a<−2 ise çözüm aralığı [a,−2) olur; bu aralıktaki dört tam sayı −6,−5,−4,−3 olacağından a=−6 bulunur. Buradan a’nın alabileceği değerlerin çarpımı 2⋅(−6)=−12 çıkar; paydadaki −2’yi de çözüme dahil ederek hatalı kök saymamaya dikkat edilmelidir.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.