Kümeler — AYT örnek sorular ve çözümleri

Bir kümede elemanların sırası ve tekrarı önemsizdir; Kümeler konusunun bu ilk kuralı, eleman sayma sorularında bile belirleyicidir. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ikinin n'inci kuvvetidir ve boş küme ile kümenin kendisi de bu alt kümelere dâhildir.

Birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri Venn şemasıyla görselleştirildiğinde ilişkiler çok daha net okunur. Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı hesaplanırken ikili kesişimler çıkarılır, üçlü kesişim ise geri eklenir.

AYT'de sorular, bir topluluktaki kişilerin farklı gruplara dağılımı gibi sözel durumlar ile belirli koşullara uyan alt kümelerin sayılması etrafında kurulur.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ evrensel kümesinin dört elemanlı bir $A$ alt kümesi için

$s (A \cap {1, 2, 3, 4}) = 2$ ,
$1 \in A$ ancak ve ancak $5 \in A$

olduğu biliniyor.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $A$ kümesi vardır?

Cevabı göster

Cevap: D — 30

Kısaca — Koşulları sağlayan 30 farklı $A$ kümesi yazılabilir.

$1 \in A ⟺ 5 \in A$ denkliği nedeniyle problemi iki ayrık duruma ayırmalıyız. Birinci durumda $1 \in A$ ve $5 \in A$ olsun; ${1, 2, 3, 4}$ kümesinden 1’in yanına $(\binom{3}{1}) = 3$ eleman, kalan tek boşluğa ise ${6, 7, 8, 9}$ kümesinden $(\binom{4}{1}) = 4$ eleman seçilerek $3 \cdot 4 = 12$ küme oluşturulur. İkinci durumda $1 \notin A$ ve $5 \notin A$ olsun; bu kez ${1, 2, 3, 4}$ ’ten iki eleman ${2, 3, 4}$ arasından $(\binom{3}{2}) = 3$ yolla, kalan iki eleman ise ${6, 7, 8, 9}$ arasından $(\binom{4}{2}) = 6$ yolla seçilerek $3 \cdot 6 = 18$ küme elde edilir. Bu iki durumun toplamından $12 + 18 = 30$ bulunur. Öğrenciler en sık $1 \notin A$ iken 5’in de elendiğini gözden kaçırıp 5’i ikinci aşamadaki seçim havuzuna dahil ederek hatalı sayım yapmaktadır.

2. soruOrta

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ olmak üzere $A$ ve $B$ kümeleri

A \cup B = U

s (A) = s (B) = 5

koşullarını sağlamaktadır. Ayrıca, $A \cap B$ kümesinin iki elemanlı olduğu ve bu iki elemanın toplamının 9 olduğu biliniyor.

Buna göre, kaç farklı sıralı $(A, B)$ ikilisi vardır?

Cevabı göster

Cevap: E — 80

Kısaca — İstenen koşulları sağlayan 80 farklı sıralı $(A, B)$ ikilisi bulunur.

$U = {1, 2, \dots, 8}$ kümesinden toplamı 9 olan iki elemanlı kesişim kümesi ${1, 8}$ , ${2, 7}$ , ${3, 6}$ veya ${4, 5}$ olmak üzere 4 farklı biçimde seçilebilir. $A \cup B = U$ olduğundan dışarıda eleman kalmaz; $s (A) = 5$ ve $s (A \cap B) = 2$ olduğundan yalnız $A$ ’ya 3 eleman, yalnız $B$ ’ye ise kalan 3 eleman düşer. Kesişim belirlendikten sonra geriye kalan 6 elemandan 3’ü yalnız $A$ için $(\binom{6}{3}) = 20$ farklı yolla seçilir ve kalanlar zorunlu olarak yalnız $B$ ’ye gider. Buradan toplam $4 \cdot 20 = 80$ sıralı ikili elde edilir; kümelerin sırasız ikili olduğunu varsayıp ikiye bölerek 40 değerine ulaşmak en belirgin tuzaktır.

3. soruOrta

Kırk öğrencinin bulunduğu bir grupta matematik, fizik ve kimya kulüplerine katılanların kümeleri sırasıyla $M$ , $F$ ve $K$ ile gösteriliyor. Her öğrenci bu kulüplerden en az birine katılmaktadır.

s (M) = 26

s (F) = 23

s (K) = 19

s (M \cap F) = 14

s (M \cap K) = 11

s (F \cap K) = 10

eşitlikleri veriliyor.

Bu kulüplerden yalnız birine katılan kaç öğrenci vardır?

Cevabı göster

Cevap: E — 19

Kısaca — Kulüplerden yalnız birine katılan öğrenci sayısı 19’dur.

Herkes en az bir kulüpte olduğundan $s (M \cup F \cup K) = 40$ ’tır. Dahil etme-dışlama ilkesiyle $40 = (26 + 23 + 19) - (14 + 11 + 10) + s (M \cap F \cap K)$ yazılarak $40 = 33 + s (M \cap F \cap K)$ ve buradan üç kulübe de katılanların sayısı $s (M \cap F \cap K) = 7$ bulunur. Buradan yalnızca iki kulübe katılanlar $(14 - 7) + (11 - 7) + (10 - 7) = 7 + 4 + 3 = 14$ kişidir. Dolayısıyla en az iki kulübe katılanların toplam sayısı $14 + 7 = 21$ olur ve yalnız bir kulübe katılanlar $40 - 21 = 19$ olarak elde edilir. En yaygın hata, kesişim bölgelerini ayrık kabul edip üç kulübe birden katılan 7 kişiyi çıkarmadan işlem yaparak 21 veya 15 gibi sonuçlara sapmaktır.

Kümeler — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik