Trigonometri — AYT örnek sorular ve çözümleri

Birim çember üzerinde bir açının bitim noktasının apsisi kosinüsü, ordinatı sinüsü verir; Trigonometri konusunun hemen her kuralı bu tanımdan türetilir.

Sinüs kare artı kosinüs kare her açı için bire eşittir ve işaretler açının bulunduğu bölgeye göre değişir: ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Toplam-fark ve iki kat açı formülleri, karmaşık görünen ifadeleri tek bir trigonometrik orana indirger. Değerleri sıralama sorularında açıları ortak bir aralığa taşımak ya da birim çember üzerindeki konumları karşılaştırmak işe yarar.

AYT matematiğinde bu konu, üçgende sinüs ve kosinüs teoremleri ile ters trigonometrik fonksiyonları da kapsayan geniş bir başlıktır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruZor

$4 5^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ olmak üzere $f (x) = \sin (x + α) + \cos (x - α)$ fonksiyonu tanımlanıyor.

$f (0^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ olduğuna göre $f (2 α)$ kaçtır?

\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{4}

✓ Doğru

\frac{1 - \sqrt{3}}{2}

✗ Bu değil

\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

✗ Bu değil

\frac{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{4}

✗ Bu değil

\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{2}

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: A — $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{4}$

Toplam-fark formülleriyle $f (x) = (\sin α + \cos α) (\sin x + \cos x)$ yazılır; verilen değerin karesinden $\sin (2 α) = 1 / 2$ , açı aralığından da $\cos (2 α) = - \sqrt{3} / 2$ bulunur. Dolayısıyla $f (2 α) = (\sqrt{6} / 2) (1 / 2 - \sqrt{3} / 2) = (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) / 4$ olur.

2. soruZor

$O = (0, 0)$ merkezli birim çemberin birinci bölgesindeki $P$ ve $Q$ noktaları, $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Birinin karşılıklı köşeleri $O$ ve $P$ , diğerinin karşılıklı köşeleri $O$ ve $Q$ olan, kenarları koordinat eksenlerine paralel iki dikdörtgen çiziliyor. $O P$ ışınının pozitif $x$ ekseniyle yaptığı açı $α$ ve $0 < α < 4 5^{\circ}$ ’dir.

En az bir dikdörtgenin içinde kalan bölgenin alanının, yalnızca bir dikdörtgenin içinde kalan bölgenin alanına oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\cot α}{\cot α - 1}

✗ Bu değil

\frac{2 \cot α - 1}{\cot α - 1}

✗ Bu değil

\frac{2 \cot α - 2}{2 \cot α - 1}

✗ Bu değil

\frac{2 \cot α + 1}{2 \cot α - 2}

✗ Bu değil

\frac{2 \cot α - 1}{2 \cot α - 2}

✓ Doğru

Cevabı göster

Cevap: E — $\frac{2 \cot α - 1}{2 \cot α - 2}$

$c = \cos α > s = \sin α$ alınırsa $P = (c, s)$ ve $Q = (s, c)$ olur. Dikdörtgenlerin her birinin alanı $c s$ , ortak bölgenin alanı $s^{2}$ ’dir. Birleşimin alanı $2 c s - s^{2}$ , yalnızca bir dikdörtgende kalan bölgenin alanı $2 c s - 2 s^{2}$ olduğundan oran $(2 c s - s^{2}) / (2 c s - 2 s^{2}) = (2 \cot α - 1) / (2 \cot α - 2)$ bulunur.

3. soruOrta

$β \in (\frac{π}{2}, π)$ için

\tan (π - β) + \cot (π - β) = \frac{10}{3}

\cos (\frac{π}{2} - β) + \sin (\frac{π}{2} + β) > 0

koşulları sağlanıyor.

$x = 4 \sin (\frac{3 π}{2} + β)$ , $y = \cos (\frac{3 π}{2} + β)$ ve $z = 3 \cot (π - β)$

olarak tanımlanıyor.

Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı göster

Cevap: B — $y < z < x$

$r = \tan (π - β) > 0$ için $r + 1 / r = 10 / 3$ eşitliğinden $r = 3$ veya $r = 1 / 3$ bulunur. İkinci koşul $\sin β + \cos β > 0$ verir. İkinci bölgede bu, $\sin β > - \cos β$ ve dolayısıyla $r > 1$ demektir; böylece $r = 3$ seçilir. Temel özdeşlikle $\sin β = 3 / \sqrt{10}$ ve $\cos β = - 1 / \sqrt{10}$ bulunur. İndirgemelerden $x = - 4 \cos β = 4 / \sqrt{10}$ , $y = \sin β = 3 / \sqrt{10}$ ve $z = 3 / r = 1$ elde edilir. $3 < \sqrt{10} < 4$ olduğundan $y < z < x$ olur.

Trigonometri — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik