Binom — AYT örnek sorular ve çözümleri

Binom konusu, iki terimli bir toplamın kuvvetinin açılımını işler: (x + y) ifadesinin n'inci kuvveti açıldığında n + 1 terim oluşur ve katsayılar kombinasyonlarla, yani Pascal üçgeninin satırlarıyla belirlenir.

Genel terim formülü, herhangi bir terimin katsayısını tüm açılımı yazmadan bulmayı sağlar. Sabit terim, x'in kuvvetinin sıfır olduğu terimdir; x ile onun tersi gibi zıt kuvvetler içeren açılımlarda bu terim üslerin dengelenmesiyle bulunur.

Katsayılar toplamı ise her değişkene bir değeri verilerek hesaplanır. AYT'de belirli bir terimin katsayısı, sabit terim ve katsayılar arasındaki oran soruları görülür; kombinasyon özdeşliklerine hâkim olmak işlemleri kısaltır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

$a$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

{(x^{2} + \frac{a}{x})}^{12}

açılımındaki sabit terimin katsayısı, $x^{3}$ lü terimin katsayısının $\frac{5}{4}$ katıdır.

Buna göre, $x^{6}$ lı terimin katsayısının sabit terimin katsayısına oranı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: D — $\frac{7}{15}$

Kısaca — $x^{6}$ lı terimin katsayısının sabit terimin katsayısına oranı $\frac{7}{15}$ olur.

Açılımın genel terimi $(\binom{12}{k}) (x^{2})^{12 - k} {(\frac{a}{x})}^{k} = (\binom{12}{k}) a^{k} x^{24 - 3 k}$ olarak yazılır. Sabit terim için $24 - 3 k = 0 ⟹ k = 8$ , $x^{3}$ lü terim içinse $24 - 3 k = 3 ⟹ k = 7$ bulunur. Sabit terimin katsayısı $x^{3}$ lü terimin $\frac{5}{4}$ katı olduğundan $(\binom{12}{8}) a^{8} = \frac{5}{4} (\binom{12}{7}) a^{7}$ eşitliği yazılır; $(\binom{12}{8}) = 495$ ve $(\binom{12}{7}) = 792$ sadeleştirildiğinde $\frac{5}{8} a = \frac{5}{4}$ ve buradan $a = 2$ bulunur. $x^{6}$ lı terim için $24 - 3 k = 6 ⟹ k = 6$ olduğundan istenen oran $\frac{(\binom{12}{6}) \cdot 2^{6}}{(\binom{12}{8}) \cdot 2^{8}} = \frac{924}{495 \cdot 4} = \frac{7}{15}$ olarak elde edilir.

2. soruOrta

$n \geq 4$ bir tam sayı olmak üzere $(1 + x)^{n}$ açılımında $x^{k}$ teriminin katsayısı $a_{k}$ ile gösteriliyor. $a_{4} = 6 a_{2}$ olduğuna göre, $\frac{a_{5}}{a_{3}}$ oranı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: A — $\frac{14}{5}$

Kısaca — İstenen $\frac{a_{5}}{a_{3}}$ oranı $\frac{14}{5}$ olarak bulunur.

$(1 + x)^{n}$ açılımında $x^{k}$ lı terimin katsayısı $a_{k} = (\binom{n}{k})$ olur. Verilen $a_{4} = 6 a_{2}$ eşitliği $(\binom{n}{4}) = 6 (\binom{n}{2})$ anlamına gelir ve faktöriyel açılımından $\frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{24} = 6 \cdot \frac{n (n - 1)}{2}$ denklemini verir. Gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda $(n - 2) (n - 3) = 72 = 9 \cdot 8$ eşitliğinden $n = 11$ bulunur. Buradan aradığımız oran $\frac{a_{5}}{a_{3}} = \frac{(\binom{11}{5})}{(\binom{11}{3})} = \frac{11! / (5! \cdot 6!)}{11! / (3! \cdot 8!)} = \frac{8 \cdot 7}{5 \cdot 4} = \frac{14}{5}$ olarak hesaplanır.

3. soruZor

$n \geq 3$ olmak üzere,

(1 + x)^{n}

açılımında $x^{2}$ li ve $x^{3}$ lü terimlerin katsayıları toplamı 220’dir.

Buna göre,

(1 - x)^{n} (1 + x)

açılımında $x^{7}$ li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: A — 132

Kısaca — Açılımdaki $x^{7}$ li terimin katsayısı 132 olarak bulunur.

$(1 + x)^{n}$ açılımında $x^{2}$ ve $x^{3}$ lü terimlerin katsayıları toplamı $(\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3})$ ’tür ve Pascal özdeşliği gereğince bu toplam $(\binom{n + 1}{3})$ değerine eşittir. $\frac{(n + 1) n (n - 1)}{6} = 220$ eşitliğinden $(n + 1) n (n - 1) = 1320 = 12 \cdot 11 \cdot 10$ yazılarak $n = 11$ elde edilir. $(1 - x)^{11} (1 + x) = (1 - x)^{11} + x (1 - x)^{11}$ ifadesinde $x^{7}$ li terim, birinci parçanın $x^{7}$ li terimi ile ikinci parçanın $x^{6}$ lı teriminin çarpımından meydana gelir. Bu terimlerin katsayıları sırasıyla $(- 1)^{7} (\binom{11}{7}) = - 330$ ve $(- 1)^{6} (\binom{11}{6}) = 462$ olduğundan toplam katsayı $462 - 330 = 132$ çıkar.

Binom — AYT örnek sorular ve çözümleri

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik