Asal Çarpanlar ve Faktöriyel — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Eşitliği ve $a\le b$ koşulunu sağlayan 5 farklı $(a,b)$ sıralı ikilisi vardır.

Eşitlikte paydaları eşitleyip içler dışlar çarpımı yaptığımızda $6(a+b)=ab$ elde ederiz. Bu ifadeyi $ab-6a-6b+36=36$ biçiminde düzenlersek $(a-6)(b-6)=36$ çarpanlarına ayrılır. $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olup $a\le b$ olduğundan $a-6\le b-6$ şartıyla $a-6$ değeri 36’nın $\sqrt{36}=6$’ya kadar olan pozitif bölenlerini yani $1,2,3,4,6$ sayılarını alabilir. Bu bölenlere karşılık gelen $(a,b)$ ikilileri sırasıyla $(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)$ ve $(12,12)$ olmak üzere tam 5 tanedir; $a\le b$ şartını dikkate almayanlar simetrik ikilileri de sayarak yanılgıya düşebilir.

Kısaca — Sondan 12 sıfır içeren en küçük faktöriyel $50!$ olduğundan aranan en küçük $n$ değeri 50’dir.

Bir $n!$ sayısının sondaki sıfır sayısı, içindeki asal 5 çarpanlarının sayısı olan $\lfloor n\mathrm{/}5\rfloor +\lfloor n\mathrm{/}25\rfloor +\dots$ formülüyle bulunur. $n=48$ ve 49 için 5’e bölümden 9, 25’e bölümden 1 gelerek toplam $9+1=10$ sıfır oluşur. $n=50$ olduğunda ise $50=2\cdot 5^2$ sayısı iki adet 5 çarpanı birden getirdiği için sıfır sayısı doğrudan $10+2=12$’ye sıçrar. Dolayısıyla hiçbir sayının faktöriyeli 11 sıfırla bitmez ve 12 sıfıra ulaşan en küçük sayı 50’dir; her 5’in katında bir sıfır eklenir yanılgısıyla $12\cdot 5=60$ düşünmek sık yapılan bir hatadır.

Kısaca — $n=4$ için eşitliği sağlayan $k$ değeri 36’dır.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeleri $n!$ ortak çarpan parantezine alırsak $n!+(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!=n!\cdot [1+(n+1)+(n+1)(n+2)]$ olur. Her iki tarafı $n!$ ile sadeleştirdiğimizde $k=1+(n+1)+(n+2)(n+1)$ eşitliğini elde ederiz; bu ifade $k=(n+2{)}^2$ olarak da toparlanabilir. $n=4$ değerini yerine yazarsak $k=1+5+6\cdot 5=1+5+30=36$ (veya $(4+2{)}^2=36$) bulunur; $n!$ parantezine alırken baştaki 1 terimini unutanlar sıklıkla 30 gibi çeldiricilere takılabilir.