II. Dereceden Eşitsizlikler — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Eşitsizlik sistemini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı 6’dır.

Birinci eşitsizlik $(x-5)(x+1)<0$ olarak çarpanlarına ayrılır ve çözüm aralığı $(-1,5)$ olur. İkinci eşitsizlik $-(x^2+2x-15)\ge 0⟹(x+5)(x-3)\le 0$ biçimine dönüştürüldüğünde çözüm aralığı $[-5,3]$ kapalı aralığı bulunur. Bu iki aralığın kesişimi $(-1,3]$ yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar $0,1,2,3$ olup toplamları $0+1+2+3=6$ elde edilir.

Kısaca — Eşitsizliği sağlayan on tam sayı $\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6$ olup kareleri toplamı 180’dir.

$x^2=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2$ olduğundan ifadeyi mutlak değere göre çarpanlarına ayırırsak $(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1)(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-a)<0$ elde edilir. $a>1$ olduğundan eşitsizlik $1<\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<a$ haline gelir ve bu aralıktaki pozitif tam sayılar $2,3,\dots ,a-1$ olmak üzere $a-2$ tanedir. Mutlak değer simetrisinden ötürü her pozitif değerin negatifi de çözüm olduğundan $2(a-2)=10⟹a=7$ bulunur. Çözüm kümesindeki tam sayıların kareleri toplamı $2\cdot (2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=2\cdot 90=180$ olarak hesaplanır.

Kısaca — Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi $(3,a]$ yarı açık aralığı olduğundan bu aralıktaki 5 tam sayının sonuncusu $a=8$ olur.

İlk olarak $a>0$ olduğundan $(x-a)(x+3)\le 0$ eşitsizliğinin çözüm aralığı $[-3,a]$ olur. İkinci eşitsizlik olan $x^2-9>0$ ise $x<-3$ veya $x>3$ bölgelerini verir; $[-3,a]$ aralığıyla kesiştirdiğinde sol taraftan ortak eleman gelmez ve geriye yalnızca $(3,a]$ aralığı kalır. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla $4,5,6,7$ ve 8 olmalıdır; $a$ dahil olduğundan $a=8$ bulunur. İkinci eşitsizlikteki büyüktür işaretini gözden kaçırıp 3 sayısını da çözüme dahil edersen $a=7$ çeldiricisine düşebilirsin, sınırların dahil olup olmadığına mutlaka dikkat etmelisin.