Kartezyen Çarpım — AYT örnek sorular ve çözümleri

çıkmış 9 sınavda 6 soru
Uygulamada bu konudan 31 soru var
Ücretsiz

Uygulamada Kartezyen Çarpım konusundan 31 soru çöz

Konu özeti

A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni A'dan, ikinci bileşeni B'den alınan bütün sıralı ikililerin kümesidir.

Tanımın en önemli sonucu, s(A×B) değerinin s(A) ile s(B)'nin çarpımına eşit olmasıdır. Sıralı ikilide bileşenlerin yeri önemlidir: a ile b farklıysa (a, b) ile (b, a) farklı ikililerdir; bu yüzden A×B ile B×A genellikle eşit küme değildir, ama eleman sayıları aynıdır.

Kartezyen Çarpım konusu, bağıntı kavramının da temelini oluşturur. AYT sorularında kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkilerden bilinmeyen bir eleman sayısını bulmak ya da belirli bir koşulu sağlayan sıralı ikilileri saymak istenir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

$A = {1, 2, 3, \dots, n}$ kümesinde $a \neq b$ koşulunu sağlayan $(a, b) \in A \times A$ sıralı ikililerinin sayısı 72’dir.

Buna göre, $s (A \times A)$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: A — 81

Eşit bileşenli $n$ ikili çıkarıldığında $n^{2} - n = 72$ olur. $n (n - 1) = 72$ eşitliğinden $n = 9$ , dolayısıyla $s (A \times A) = 9^{2} = 81$ bulunur.

2. soruZor

$A$ , $B$ ve $C$ sonlu, boş olmayan kümeler olmak üzere

s (A \times B) = 6

s (B \times C) = 8

s ((A \times B) \cap (B \times C)) = 2

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $s (A) + s (B) + s (C)$ toplamı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: E — 9

Kısaca — Kümelerin eleman sayıları sırasıyla 3, 2 ve 4 olup toplamları 9’dur.

Kartezyen çarpımların kesişim kuralından $(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)$ yazabilirsin; bu kümenin eleman sayısı $s (A \cap B) \cdot s (B \cap C) = 2$ olarak verilmiştir. Kesişim kümeleri $B$ ’nin alt kümesi olduğundan $s (A \cap B) \leq s (B)$ ve $s (B \cap C) \leq s (B)$ olmalıdır; çarpımın 2 çıkması için $s (B) \geq 2$ şarttır. Ayrıca $s (B)$ sayısı hem 6’yı hem 8’i böldüğünden $s (B) = 2$ bulunur. Buradan $s (A) = 3$ ve $s (C) = 4$ elde edilerek toplam $3 + 2 + 4 = 9$ olarak hesaplanır.

3. soruKolay

$s (A) = 4$ olmak üzere, $B$ kümesi $A$ kümesinin iki elemanlı tüm alt kümelerinden oluşmaktadır. Buna göre, $B$ kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: D — 64

$A$ kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin sayısı $(\binom{4}{2}) = 6$ olduğundan $s (B) = 6$ olur. Bir kümenin her elemanı alt kümeye alınabilir veya alınmayabilir. Bu nedenle $B$ kümesinin alt küme sayısı $2^{6} = 64$ ’tür.

Her soru o anki seviyene göre seçilir, yanlışların öğrenene kadar tekrar karşına çıkar; hepsi çevrimdışı çalışır.

Uygulamada Kartezyen Çarpım konusundan 31 soru çöz

Diğer AYT konuları

Sınavdan daha zor: AYT zorlu sorular · Yarışma tarzı sorular

AYT hakkında her şey

Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.

AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.

Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.