Trigonometrik Denklemler — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — Mutlak değerli denklem çözüldüğünde $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ elde edilir ve $[0,2\pi )$ aralığında 4 farklı kök bulunur.

Yarım açı formülüyle $\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x=1-2\mathrm{\mid }\sin x{\mathrm{\mid }}^2$ yazabiliriz. $u=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ dönüşümü yapıldığında denklem $2u^2+u-1=0$ hâline gelir ve $(2u-1)(u+1)=0$ olarak çarpanlarına ayrılır. $u=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\ge 0$ olması gerektiğinden $u=-1$ kökü elenir ve geriye yalnızca $u=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ kalır. Bu da $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ veya $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ demektir; $[0,2\pi )$ aralığındaki dört bölgenin her birinden birer tane olmak üzere $x\in \{{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{7\pi }{6}},{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}\}$ olmak üzere toplam 4 farklı çözüm gelir. Mutlak değeri dikkate almayıp denklemi doğrudan $\sin x=\cos (2x)$ diye çözmek, öğrenciyi yalnızca 3 çözüme ulaştırarak yanıltır.

Kısaca — Denklem $\sin (2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ biçimine getirildiğinde simetriden dolayı ${\cos }^{2}x$ değerlerinin toplamı 2 bulunur.

$\tan x+\cot x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}={\displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}}={\displaystyle \frac{2}{\sin (2x)}}$ özdeşliği kullanılır. ${\displaystyle \frac{2}{\sin (2x)}}=4$ eşitliğinden $\sin (2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ elde edilir; $x\in (0,2\pi )$ aralığında $2x\in (0,4\pi )$ olduğundan $2x$ değerleri ${\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{13\pi }{6}},{\displaystyle \frac{17\pi }{6}}$ olur. ${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos (2x)}{2}}$ yarım açı formülü uygulandığında istenen toplam ${\sum }_{k=1}^4{\cos }^2{x}_k={\displaystyle \frac{4+\sum \cos (2x_k)}{2}}$ hâline gelir. Açıların kosinüsleri ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ olup birbirini sıfırladığından ($\sum \cos (2x_k)=0$), toplam ${\displaystyle \frac{4+0}{2}}=2$ çıkar. Yalnızca $(0,\pi )$ aralığındaki ilk iki kökü hesaba katmak toplamı yarıya düşürerek 1 cevabına götüren en belirgin çeldiricidir.

Kısaca — İfadenin değeri ${\displaystyle \frac{24}{25}}$ olarak bulunur.

$\alpha =\arccos {\displaystyle \frac{3}{5}}$ dönüşümü yaptığında $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ olur ve 3-4-5 dik üçgeninden $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}$ elde edilir. Soru senden $\sin (2\alpha )$ değerini istediği için sinüs yarım açı formülünü açmalısın: $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$. Formüldeki 2 katsayısını unutmak seni ${\displaystyle \frac{12}{25}}$ çeldiricisine, sinüs yerine kosinüsün iki kat açı formülünü uygulamak ise ${\displaystyle \frac{7}{25}}$ çeldiricisine götürür.