Grafiğe bir noktada çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir ve anlık değişim hızını gösterir.
Türev konusu bu tanımdan çarpım, bölüm ve zincir kurallarına, oradan da artan ve azalan aralıklara, ekstremum noktalarına ve büküm noktasına uzanır. Türevlenebilirlik süreklilikten daha güçlü bir koşuldur: mutlak değer fonksiyonu sıfırda süreklidir, ama orada sivri bir köşe oluştuğu için türevli değildir.
Ters fonksiyonun türevi, asıl fonksiyonun ilgili noktadaki türevinin çarpmaya göre tersine eşittir. AYT matematiğinin en kapsamlı başlıklarından biri olan bu konuda maksimum-minimum problemleri, teğet denklemi ve türevlenebilirlik koşulundan parametre bulma soruları yer alır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruZor
Gerçel sayılar üzerinde iki kez türevlenebilir ve bire bir olan f fonksiyonu için
f(2)=5
f′(2)=3
f′′(2)=−6
olduğu biliniyor. g=f−1olduğuna göre, g′′(5) kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: E — 92
Kısaca — Ters fonksiyonun ikinci türevinin değeri g′′(5)=92’dur.
g=f−1 olduğundan (f∘g)(x)=x eşitliği geçerlidir. Eşitliğin her iki tarafının x’e göre türevini alırsak f′(g(x))⋅g′(x)=1⟹g′(x)=[f′(g(x))]−1 elde ederiz. Tekrar türev aldığımızda zincir kuralı gereği g′′(x)=−[f′(g(x))]−2⋅f′′(g(x))⋅g′(x)=−[f′(g(x))]3f′′(g(x)) bağıntısına ulaşırız. f(2)=5 olduğundan g(5)=2’dir; verilen değerleri yerine koyarsak g′′(5)=−[f′(2)]3f′′(2)=−33−6=276=92 bulunur (zincir kuralındaki eksi işaretini unutmak −92 çeldiricisine götürür).
2. soruOrta
a ve b gerçel sayılar olmak üzere, x=−1 için
f(x)=x+1x4+ax+b ve g(x)=(x−2)f(x)
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(2)−g′(−2)=8f′(2)
olduğuna göre, b−a farkı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — 8
r=b−a denilsin. Bölüm kuralıyla f′(2)=(80−r)/9 ve f′(−2)=16−r bulunur. Ayrıca f(2)=a+(16+r)/3 ve f(−2)=a−r−16 olur. Çarpım kuralından g′(2)=a+(16+r)/3 ve g′(−2)=a+3r−80 elde edilir. Verilen bağıntı (256−8r)/3=8(80−r)/9 olur. Buradan 768−24r=640−8r, dolayısıyla r=8 bulunur.
3. soruZor
a ve b gerçel sayılar olmak üzere, f(x)=∣x2−5x+4∣+(ax+b)(∣x−1∣−∣x−4∣) fonksiyonu her gerçel sayıda türevlidir.
Buna göre, f′(2)+f′′(5) kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: C — −1
x=1 ve x=4 noktalarında sağ ve sol türevlerin eşitliğinden a+b=−3 ve 4a+b=3, dolayısıyla a=2,b=−5 bulunur. Bu durumda 1<x<4 için f(x)=3x2−15x+21,x>4 için f(x)=x2+x−11 olduğundan istenen toplam −3+2=−1 olur.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.