İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olan parabol, tepe noktasından geçen dikey eksene göre simetrik bir eğridir ve Parabol konusundaki soruların çoğu bu simetriye dayanır.
Tepe noktasının apsisi −b/2a ile bulunur; x eksenini kestiği iki noktanın tam ortası da aynı apsisi verir. Baş katsayı pozitifse kollar yukarı bakar ve tepe noktası en küçük değeri, negatifse en büyük değeri gösterir. Bir doğru ile parabolün ortak noktalarını bulmak için iki denklem eşitlenir; ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfırsa doğru parabole teğettir.
AYT'de tepe noktası, eksenleri kesim noktaları ve teğetlik koşulu üzerinden sorular gelir; grafik okuma da sık kullanılır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruOrta
0<x1<x2 olmak üzere
f(x)=(x−x1)(x−x2)
parabolü x eksenini apsisi büyük olan A noktasında, y eksenini B noktasında kesmektedir. ∣OA∣=∣OB∣ olup parabol x=2 iken en küçük değerini almaktadır.
Buna göre x1x2 oranı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: A — 3
Kısaca —x1x2 oranı 3’tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleyelim: x eksenini apsisi büyük olan noktada A(x2,0)’da kestiğinden ∣OA∣=x2 birimdir (x2>0).y eksenini ise x=0 için f(0)=(−x1)(−x2)=x1x2 olduğundan B(0,x1x2) noktasında keser ve ∣OB∣=x1x2 birimdir. ∣OA∣=∣OB∣ verildiğinden x2=x1x2 eşitliği kurulur; x2>0 olduğundan her iki tarafı x2 ile sadeleştirirsek x1=1 buluruz. Parabol en küçük değerini x=2’de aldığından tepe apsisi r=2’dir ve bu değer köklerin aritmetik ortalamasına eşittir: r=2x1+x2=2⇒1+x2=4⇒x2=3 elde edilir. Buradan istenen oran x1x2=13=3 olur. Tepe apsisi 2’yi doğrudan köklerden biri sanmak en yaygın çeldiricilere yönlendirir.
2. soruOrta
m gerçek sayı olmak üzere
y=x2−2mx+m2−1
parabolü, y=2x+m doğrusuna teğettir.
Buna göre m2+m değeri kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: C — −92
Kısaca —m2+m değeri −92’dur.
Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. Ortak denklemi kuralım: x2−2mx+m2−1=2x+m⇒x2−2(m+1)x+(m2−m−1)=0. Bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ=[−2(m+1)]2−4(1)(m2−m−1)=4(m2+2m+1)−4(m2−m−1)=0. Her iki tarafı 4’e böldüğümüzde (m2+2m+1)−(m2−m−1)=0⇒3m+2=0 elde edilir ve buradan m=−32 bulunur. İstenen ifadede yerine yazarsak m2+m=(−32)2+(−32)=94−32=−92 sonucuna ulaşırız. Ortak denklemde m terimini sol tarafa geçirirken işaret hatası yapıp m=2/3 bulmak, pozitif olan 92 çeldiricisine yol açabilir.
3. soruKolay
a,b ve c gerçek sayılar olmak üzere,
y=ax2+bx+c
parabolü x-eksenini (1,0) ve (5,0) noktalarında kesmekte olup tepe noktası y=x−7 doğrusu üzerinde bulunmaktadır.
Buna göre bu parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: C — 5
Kısaca — Parabolün tepe noktası T(3,−4) ve katsayısı a=1 bulunarak y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 5 elde edilir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar 1 ve 5 olduğundan simetri ekseni bu köklerin tam ortasındadır: r=21+5=3. Tepe noktası y=x−7 doğrusu üzerinde yer aldığından ordinatı k=3−7=−4 olur; yani tepe noktası T(3,−4)’tür. Kökleri bilinen parabol denklemini y=a(x−1)(x−5) biçiminde kurup T(3,−4) noktasını sağlattığımızda −4=a(2)(−2)⟹a=1 bulunur. Buradan parabol denklemi y=(x−1)(x−5) olur ve x=0 yazıldığında y-eksenini kestiği noktanın ordinatı (0−1)(0−5)=5 çıkar.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.