Modüler Aritmetik — AYT örnek sorular ve çözümleri

Kısaca — $7^{222}+11^{111}$ sayısının 13 ile bölümünden kalan 4’tür.

13 asal sayı olduğundan Fermat’nın Küçük Teoremi uyarınca 13 ile aralarında asal olan sayılar için $a^{12}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ sağlanır; bu sayede üsleri mod 12'de indirgeyebilirsin. İlk terim için $222=12\cdot 18+6$ olduğundan $7^{222}\equiv 7^6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ elde edilir; $7^2=49\equiv -3$ eşitliğinden faydalanırsak $7^6\equiv (-3{)}^3=-27\equiv -1\equiv 12(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ bulunur. İkinci terimde $11\equiv -2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ alıp üssü indirgediğimizde $111=12\cdot 9+3$ olduğundan $11^{111}\equiv (-2{)}^3=-8\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ gelir. İki kalanı topladığımızda $12+5=17$ ve $17\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$ sonucuna ulaşılır. Negatif kalanları düzenlerken işaret hatası yapmak ya da üsleri 12 yerine doğrudan 13'e bölmek yanlış seçeneklere götürür.

Kısaca — Koşulları sağlayan 100'den büyük en küçük $n$ doğal sayısı 107’dir.

2’nin 7 ile bölümünden kalanları incelendiğinde $2^1\equiv 2$, $2^2\equiv 4$ ve $2^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ olduğundan kuvvetler 3 adımda bir tekrarlar; bu nedenle $2^n\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ denkliği $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ olmasını gerektirir. Benzer şekilde 3’ün 5 ile bölümünden kalanları $3^1\equiv 3$, $3^2\equiv 4$, $3^3\equiv 2$ ve $3^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ olup periyot 4’tür; dolayısıyla $3^n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ için $n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ olmalıdır. Her iki koşul da $n\equiv -1$ kalanına karşılık geldiğinden bu iki denklik $n\equiv 11(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$ olarak birleştirilir. $n>100$ şartını sağlayan en küçük değer $k=8$ için $n=12\cdot 8+11=107$ olarak bulunur.

Kısaca — Her denklik sınıfından en az bir eleman içeren 324 farklı $K$ kümesi vardır.

Tanımlanan bağıntı mod 4’e göre denklik bağıntısıdır ve $S$ kümesini her biri üçer elemandan oluşan $[0]=\{4,8,12\}$, $[1]=\{1,5,9\}$, $[2]=\{2,6,10\}$ ve $[3]=\{3,7,11\}$ olmak üzere dört sınıfa ayırır. Beş elemanlı $K$ kümesinin bu dört sınıfın her birinden en az bir eleman içermesi için güvercin yuvası ilkesi gereğince bir sınıftan 2, kalan üç sınıftan ise 1’er eleman seçilmelidir ($2+1+1+1=5$). İki eleman alınacak denklik sınıfı $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{1}\right)=4$ yolla, o sınıftan iki eleman $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3$ yolla ve diğer üç sınıfın her birinden birer eleman $3^3=27$ yolla seçilir. Çarpım kuralıyla $4\cdot 3\cdot 27=324$ sonucuna ulaşılır. İki eleman seçilecek sınıfı belirlemeyi unutan öğrenciler 4 katsayısını atlayarak 81 veya yanlış dağılımla 243 çeldiricisine yönelebilmektedir.