Bir P(x) polinomunun x − a ile bölümünden kalanın P(a) olması, Polinomlar konusundaki en güçlü araçtır ve kalan teoremi adıyla bilinir.
Bölen ikinci dereceden olduğunda kalan en fazla birinci dereceden olacağından mx + n biçiminde yazılır ve iki bilinmeyen, iki ayrı kalan bilgisiyle bulunur. Derece, baş katsayı ve sabit terim de temel kavramlardır; sabit terim P(0), katsayılar toplamı ise P(1) ile hesaplanır.
Köklerle çarpanlar arasındaki ilişki de sıkça işlenir: a bir kökse x − a bir çarpandır. AYT'de polinom bölmesi, kalan bulma ve köklerden polinomu kurma soruları yer alır; seçenekler çoğunlukla tam sayılardır.
Örnek sorular
Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.
1. soruKolay
Bir P(x) polinomunun x−1 ile bölümünden kalan 2,x+2 ile bölümünden kalan ise 5’tir. P(x) polinomunun (x−1)(x+2) polinomu ile bölümünden elde edilen kalan R(x)’tir.
Buna göre, R(4) kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: C — −1
Kısaca — Bölme özdeşliğinden kalan polinomu R(x)=−x+3 olarak belirlenir ve R(4)=−1 bulunur.
Polinom bölme özdeşliğine göre P(x)=(x−1)(x+2)Q(x)+R(x) yazılır; bölen ikinci dereceden olduğu için kalan en fazla birinci dereceden, yani R(x)=ax+b biçimindedir. Verilen kalanlar P(1)=R(1)=a+b=2 ve P(−2)=R(−2)=−2a+b=5 eşitliklerini sağlar. Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarıldığında 3a=−3⟹a=−1 ve buradan b=3 elde edilir. Kalan fonksiyonu R(x)=−x+3 olduğuna göre, istenen değer R(4)=−4+3=−1 olur.
2. soruOrta
Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden gerçek katsayılı bir P(x) polinomunun yalnız iki farklı gerçek kökü vardır.
P(1)=P(3)=0
P(2)<0
koşulları birlikte sağlanır.
P(0) kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: D — −3
Kısaca —P(2)<0 eşitsizliği çift katlı kökün 1 olduğunu belirler ve buradan P(0)=−3 bulunur.
Üçüncü dereceden bir polinomun yalnızca iki farklı gerçek kökünün bulunması, köklerden birinin çift katlı olduğunu gösterir. Baş katsayı 1 olduğundan olası kurallar P(x)=(x−1)2(x−3) veya P(x)=(x−1)(x−3)2 biçimindedir. x=2 değerini incelediğimizde (2−1)(2−3)2=1>0 olduğu için ikinci olasılık elenir; (2−1)2(2−3)=−1<0 koşulunu sağlayan polinom P(x)=(x−1)2(x−3) olur. Bu kuralda x=0 yazdığımızda P(0)=(−1)2(−3)=−3 değerine ulaşırız; çift katlı kökü yanlışlıkla 3 alan bir öğrenci −9 çeldiricisine düşebilirdi.
3. soruKolay
P(x)+Q(x)=2x+5 ve P(x)⋅Q(x)=x2+5x+6 eşitlikleri sağlanıyor.
x=2 için P(x)2+Q(x)2 kaçtır?
Cevabı göster
Cevap: C — 41
Kısaca —x=2 için P(x)2+Q(x)2 ifadesinin değeri 41’dir.
İki terimin kareleri toplamını bulmak için tam kare özdeşliğinden yararlanalım: P(x)2+Q(x)2=[P(x)+Q(x)]2−2P(x)Q(x) olur. Verilen eşitliklerde x=2 yazarsak P(2)+Q(2)=2(2)+5=9 ve P(2)⋅Q(2)=22+5(2)+6=20 değerlerini elde ederiz. Bu değerleri özdeşlikte yerine koyduğumuzda 92−2⋅20=81−40=41 sonucuna ulaşırız. Sadece toplamın karesini alıp çarpım terimini çıkarmayı unutanlar 81 sonucuna kapılabilir; bu özdeşlikte −2PQ terimini kesinlikle unutmamalısın.
Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.
AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.
Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.